Dada a função f(x)=x^2-2 x+1 :
c) Interpole x=1,5 usando Diferenças Divididas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos interpolar o valor em usando o método das Diferenças Divididas. Isso faz parte do estudo de interpolação polinomial, onde a gente usa pontos conhecidos para estimar valores intermediários. Para isso, vamos precisar escolher alguns pontos próximos a e aplicar as diferenças divididas para encontrar o valor aproximado.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher alguns pontos próximos de para usar na interpolação. Vou escolher três pontos para facilitar os cálculos: , e . Esses pontos são bons porque estão bem distribuídos ao redor de , e com três pontos conseguimos criar um polinômio quadrático que deve se ajustar bem à nossa função.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores da função f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 nesses pontos escolhidos:
  • Para f(2) = 2^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1 : f(3) = 3^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4
  • Para :
  • Para :
Então, temos os pares de pontos: , e .

Passo 4

Vamos calcular as Diferenças Divididas. Primeiro, organizamos nossos pontos:
c|c x & f(x) hline 1 & 0 2 & 1 3 & 4
Agora, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 1 - 02 - 1 = 1
f[x2, x3] = 4 - 13 - 2 = 3
Em seguida, a diferença dividida de segunda ordem:
f[x1, x2, x3] = f[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1 = 3 - 13 - 1 = 1

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral é:
P(x) = f(x1) + f[x1, x2](x - x1) + f[x1, x2, x3](x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que encontramos:
P(x) = 0 + 1(x - 1) + 1(x - 1)(x - 2)
Simplificando:
P(x) = (x - 1) + (x - 1)(x - 2)
Distribuindo:
P(x) = (x - 1) + (x^2 - 3x + 2) = x - 1 + x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x + 1
Interesting! Nosso polinômio interpolador é exatamente a função original .

Passo 6

Agora, para interpolar o valor em P(1,5) = (1,5)^2 - 2(1,5) + 1 = 2,25 - 3 + 1 = 0,25 , substituímos no polinômio:

Resposta

O valor interpolado em usando Diferenças Divididas é 0,25.

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