Dada a função
:
c) Interpole
usando Diferenças Divididas
c) Interpole
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos interpolar o valor em
usando o método das Diferenças Divididas. Isso faz parte do estudo de interpolação polinomial, onde a gente usa pontos conhecidos para estimar valores intermediários. Para isso, vamos precisar escolher alguns pontos próximos a
e aplicar as diferenças divididas para encontrar o valor aproximado.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher alguns pontos próximos de
para usar na interpolação. Vou escolher três pontos para facilitar os cálculos:
,
e
. Esses pontos são bons porque estão bem distribuídos ao redor de
, e com três pontos conseguimos criar um polinômio quadrático que deve se ajustar bem à nossa função.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores da função
nesses pontos escolhidos:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, temos os pares de pontos:
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as Diferenças Divididas. Primeiro, organizamos nossos pontos:
Agora, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Em seguida, a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral é:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Distribuindo:
Interesting! Nosso polinômio interpolador é exatamente a função original
.
Passo 6
Agora, para interpolar o valor em
, substituímos no polinômio:
Resposta
O valor interpolado em
usando Diferenças Divididas é 0,25.