Vamos considerar a função , cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de de 0 a 1 usando a Regra do Trapézio. A gente vai usar conceitos de cálculo numérico, especificamente técnicas de aproximação de integrais quando não conseguimos achar a primitiva de forma exata. A Regra do Trapézio é uma dessas técnicas que facilita nossa vida quando a função é complicada, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em segmentos e aproximando cada segmento por um trapézio. A fórmula geral para a Regra do Trapézio com um único trapézio (n=1) é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:

Passo 5

Para calcular o erro cometido pela aproximação, usamos a fórmula do erro da Regra do Trapézio:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de :
Agora, vamos encontrar o máximo de no intervalo [0,1]. Observando a expressão, percebemos que o termo aumenta com , então o máximo ocorre em :
Aplicando na fórmula do erro:
No entanto, para simplificar e garantir uma estimativa mais conservadora, consideramos o erro como .

Resposta

Usando a Regra do Trapézio, a aproximação da integral é aproximadamente 0,6839397 e o erro cometido é .

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0 -1 0 7
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Resposta: .