Vamos considerar a função
, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule
e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e
.
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de
de 0 a 1 usando a Regra do Trapézio. A gente vai usar conceitos de cálculo numérico, especificamente técnicas de aproximação de integrais quando não conseguimos achar a primitiva de forma exata. A Regra do Trapézio é uma dessas técnicas que facilita nossa vida quando a função é complicada, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em segmentos e aproximando cada segmento por um trapézio. A fórmula geral para a Regra do Trapézio com um único trapézio (n=1) é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:
Passo 5
Para calcular o erro cometido pela aproximação, usamos a fórmula do erro da Regra do Trapézio:
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de
:
Agora, vamos encontrar o máximo de
no intervalo [0,1]. Observando a expressão, percebemos que o termo
aumenta com
, então o máximo ocorre em
:
Aplicando na fórmula do erro:
No entanto, para simplificar e garantir uma estimativa mais conservadora, consideramos o erro como
.
Resposta
Usando a Regra do Trapézio, a aproximação da integral
é aproximadamente 0,6839397 e o erro cometido é
.