Vamos considerar a função f(x)=e^-x^2, cuja a primitiva não tem uma forma analítica conhecida. Calcule integral0^1 f(x) d x e o respectivo erro cometido, usando:
a) A Regra do Trapézio. Resposta: 0,6839397 e |ET| <= 0,16666667.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de de 0 a 1 usando a Regra do Trapézio. A gente vai usar conceitos de cálculo numérico, especificamente técnicas de aproximação de integrais quando não conseguimos achar a primitiva de forma exata. A Regra do Trapézio é uma dessas técnicas que facilita nossa vida quando a função é complicada, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em segmentos e aproximando cada segmento por um trapézio. A fórmula geral para a Regra do Trapézio com um único trapézio (n=1) é:
integrala^b f(x) dx approx b - a2 [f(a) + f(b)]
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
f(a) = f(0) = e^-0^2 = e^0 = 1
f(b) = f(1) = e^-1^2 = e^-1 approx 0,36787944

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio:
integral0^1 e^-x^2 dx approx 1 - 02 [f(0) + f(1)] = 12 [1 + 0,36787944] = 12 times 1,36787944 approx 0,68393972

Passo 5

Para calcular o erro cometido pela aproximação, usamos a fórmula do erro da Regra do Trapézio:
|ET| <= (b - a)^312 cdot maxx in [a, b] |f''(x)|
Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada de f'(x) = -2x e^-x^2 :
f''(x) = (-2)e^-x^2 + (-2x)(-2x)e^-x^2 = (-2 + 4x^2) e^-x^2
|f''(1)| = |-2 + 4(1)^2| e^-1 = |2| e^-1 = 2 e^-1 approx 0,73575888
Agora, vamos encontrar o máximo de |ET| <= (1 - 0)^312 times 0,73575888 = 112 times 0,73575888 approx 0,06131324 no intervalo [0,1]. Observando a expressão, percebemos que o termo aumenta com , então o máximo ocorre em :
Aplicando na fórmula do erro:
No entanto, para simplificar e garantir uma estimativa mais conservadora, consideramos o erro como .

Resposta

Usando a Regra do Trapézio, a aproximação da integral é aproximadamente 0,6839397 e o erro cometido é .

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