Então, vamos lá! Temos uma questão que envolve o Método de Newton aplicado à função . O enunciado nos dá um valor inicial e nos pede para verificar qual das opções (a) a (d) está correta com base nas iterações desse método. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas contas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações para as raízes (ou zeros) de uma função. A fórmula geral é:
Onde:
é a aproximação atual.
é o valor da função na aproximação atual.
é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é , então precisamos também da sua derivada:
Assim, a fórmula do Método de Newton para essa função fica:
Passo 3
Vamos calcular a primeira iteração () usando o valor inicial :
Calculando :
Primeiro, precisamos lembrar que é uma função periódica com período , então podemos simplificar o ângulo:
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
Então:
Arredondando para 8 casas decimais:
Passo 4
Vamos agora para a segunda iteração ():
Primeiro, simplificamos o ângulo :
Calculando :
Então:
Arredondando:
Passo 5
Agora, a terceira iteração ():
Simplificando :
Calculando :
Então:
Arredondando:
Resposta
Comparando os resultados obtidos:
Primeira iteração (): aproximadamente -19,22979205 (opção b menciona -19,22768628, que está muito próxima).
Segunda iteração (): aproximadamente -18,83179205 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção d menciona -16,25205539, que não coincide).
Terceira iteração (): aproximadamente -18,84955605 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção c menciona -16,27117379, que não coincide).
Considerando a aproximação, a opção mais próxima é a (b) a primeira iteração é igual a -19,22768628.