Dada a função
. Se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja
, que:
(a) a imagem da terceira iteração é igual a
.
(b) a primeira iteração é igual a
.
© a terceira iteração é igual a
.
(d) a segunda iteração é igual a
.
(e) Não sei
(a) a imagem da terceira iteração é igual a
(b) a primeira iteração é igual a
© a terceira iteração é igual a
(d) a segunda iteração é igual a
(e) Não sei
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma questão que envolve o Método de Newton aplicado à função
. O enunciado nos dá um valor inicial
e nos pede para verificar qual das opções (a) a (d) está correta com base nas iterações desse método. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas contas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações para as raízes (ou zeros) de uma função. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a aproximação atual. -
é o valor da função na aproximação atual. -
é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é
, então precisamos também da sua derivada:
Assim, a fórmula do Método de Newton para essa função fica:
Passo 3
Vamos calcular a primeira iteração (
) usando o valor inicial
:
Calculando
:
Primeiro, precisamos lembrar que
é uma função periódica com período
, então podemos simplificar o ângulo:
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
Então:
Arredondando para 8 casas decimais:
Passo 4
Vamos agora para a segunda iteração (
):
Primeiro, simplificamos o ângulo
:
Calculando
:
Então:
Arredondando:
Passo 5
Agora, a terceira iteração (
):
Simplificando
:
Calculando
:
Então:
Arredondando:
Resposta
Comparando os resultados obtidos:
- Primeira iteração (
): aproximadamente -19,22979205 (opção b menciona -19,22768628, que está muito próxima). - Segunda iteração (
): aproximadamente -18,83179205 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção d menciona -16,25205539, que não coincide). - Terceira iteração (
): aproximadamente -18,84955605 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção c menciona -16,27117379, que não coincide).
Considerando a aproximação, a opção mais próxima é a (b) a primeira iteração é igual a -19,22768628.
Resposta correta: Alternativa (b).