Dada a função . Se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja , que:
(a) a imagem da terceira iteração é igual a .
(b) a primeira iteração é igual a .
© a terceira iteração é igual a .
(d) a segunda iteração é igual a .
(e) Não sei

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma questão que envolve o Método de Newton aplicado à função . O enunciado nos dá um valor inicial e nos pede para verificar qual das opções (a) a (d) está correta com base nas iterações desse método. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações para as raízes (ou zeros) de uma função. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é , então precisamos também da sua derivada:
Assim, a fórmula do Método de Newton para essa função fica:

Passo 3

Vamos calcular a primeira iteração ( ) usando o valor inicial :
Calculando :
Primeiro, precisamos lembrar que é uma função periódica com período , então podemos simplificar o ângulo:
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
Então:
Arredondando para 8 casas decimais:

Passo 4

Vamos agora para a segunda iteração ( ):
Primeiro, simplificamos o ângulo :
Calculando :
Então:
Arredondando:

Passo 5

Agora, a terceira iteração ( ):
Simplificando :
Calculando :
Então:
Arredondando:

Resposta

Comparando os resultados obtidos:
  • Primeira iteração ( ): aproximadamente -19,22979205 (opção b menciona -19,22768628, que está muito próxima).
  • Segunda iteração ( ): aproximadamente -18,83179205 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção d menciona -16,25205539, que não coincide).
  • Terceira iteração ( ): aproximadamente -18,84955605 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção c menciona -16,27117379, que não coincide).
Considerando a aproximação, a opção mais próxima é a (b) a primeira iteração é igual a -19,22768628.
Resposta correta: Alternativa (b).

Exercícios relacionados

Seja a função
Usando o método da bisseção no intervalo e 3 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 3.86375
(b) 3.85437
© 3.85318
(d) 3,86870
(e) Não sei
As regiões de underflow e de overflow de um certo sistema de ponto flutuante são definidas, respectivamente, pelos conjunto e . Qual o valor da cota inferior e da cota superior ?
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Realize duas iterações do método de Newton, com chute inicial , para encontrar uma raz de . A raíz aproximada é:
(a) 2,10531
(b) 2,33636
© 2,53333
(d) 2,25240
(e) Não sei
Use o método de Newton-Raphson para obter a raiz da equação . Faça duas iterações. Considere e tol .
(a) 0,760613
(b) 0,794303
© 0,754674
(d) 0,786316
(e) Não sei