Dada a função sen(x). Se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja x 0=-17,938494052, que:
(a) a imagem da terceira iteração é igual a 0,01911491.
(b) a primeira iteração é igual a -19,22768628.
© a terceira iteração é igual a -16,27117379.
(d) a segunda iteração é igual a -16,25205539.
(e) Não sei

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma questão que envolve o Método de Newton aplicado à função . O enunciado nos dá um valor inicial e nos pede para verificar qual das opções (a) a (d) está correta com base nas iterações desse método. Para resolver isso, vamos precisar entender como o Método de Newton funciona e aplicar algumas contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Método de Newton. Esse método é uma técnica para encontrar aproximações para as raízes (ou zeros) de uma função. A fórmula geral é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • f'(x) = cos(x) é a aproximação atual.
  • xn+1 = xn - sin(xn)cos(xn) = xn - tan(xn) é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
No nosso caso, a função é , então precisamos também da sua derivada:
Assim, a fórmula do Método de Newton para essa função fica:

Passo 3

Vamos calcular a primeira iteração ( x1 = x0 - tan(x0) ) usando o valor inicial -17,938494052 mod pi approx -17,938494052 + 6pi approx -17,938494052 + 18,8495559215 approx 0,9110618695 :
tan(0,9110618695) approx 1,291298
Calculando x1 = -17,938494052 - 1,291298 approx -19,22979205 :
Primeiro, precisamos lembrar que x1 approx -19,22979205 é uma função periódica com período , então podemos simplificar o ângulo:
Agora, calculamos a tangente desse ângulo:
Então:
Arredondando para 8 casas decimais:

Passo 4

Vamos agora para a segunda iteração ( x2 = x1 - tan(x1) ):
-19,22979205 mod pi approx -19,22979205 + 6pi approx -19,22979205 + 18,8495559215 approx -0,3802361285
Primeiro, simplificamos o ângulo tan(-0,3802361285) approx -0,3980 :
x2 = -19,22979205 - (-0,3980) = -19,22979205 + 0,3980 approx -18,83179205
Calculando x2 approx -18,83179205 :
Então:
Arredondando:

Passo 5

Agora, a terceira iteração ( x3 = x2 - tan(x2) ):
-18,83179205 mod pi approx -18,83179205 + 6pi approx -18,83179205 + 18,8495559215 approx 0,0177638715
Simplificando tan(0,0177638715) approx 0,017764 :
x3 = -18,83179205 - 0,017764 approx -18,84955605
Calculando x3 approx -18,84955605 :
Então:
Arredondando:

Resposta

Comparando os resultados obtidos:
  • Primeira iteração ( ): aproximadamente -19,22979205 (opção b menciona -19,22768628, que está muito próxima).
  • Segunda iteração ( ): aproximadamente -18,83179205 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção d menciona -16,25205539, que não coincide).
  • Terceira iteração ( ): aproximadamente -18,84955605 (nenhuma opção corresponde exatamente, mas a opção c menciona -16,27117379, que não coincide).
Considerando a aproximação, a opção mais próxima é a (b) a primeira iteração é igual a -19,22768628.
Resposta correta: Alternativa (b).

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