Realize duas iterações do método de Newton, com chute inicial x0=1, para encontrar uma raz de f(x)=x / 4+cos (x). A raíz aproximada x2 é:
(a) 2,10531
(b) 2,33636
© 2,53333
(d) 2,25240
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o método de Newton para encontrar uma raiz da função , começando com um chute inicial . O método de Newton é uma técnica de algoritmos numéricos que ajuda a aproximar raízes de funções de forma iterativa. Vamos precisar da derivada da função e aplicar a fórmula do método de Newton para encontrar as próximas aproximações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • f(x) = x4 + cos(x) é a aproximação atual.
  • f'(x) = 14 - sin(x) é o valor da função na aproximação atual.
  • é a derivada da função na aproximação atual.
Então, vamos calcular a derivada de :
A derivada de é:

Passo 3

Começamos com o chute inicial f(1) = 14 + cos(1) approx 0,25 + 0,5403 approx 0,7903 .
Agora, vamos calcular a primeira iteração para encontrar f'(1) = 14 - sin(1) approx 0,25 - 0,8415 approx -0,5915 .
Primeiro, calculamos x1 = 1 - 0,7903-0,5915 approx 1 + 1,3364 approx 2,3364 :
Em seguida, a derivada em :
Aplicando a fórmula do método de Newton:

Passo 4

Agora, vamos fazer a segunda iteração para encontrar f(2,3364) = 2,33644 + cos(2,3364) approx 0,5841 + (-0,6760) approx -0,0919 .
Primeiro, calculamos f'(2,3364) = 14 - sin(2,3364) approx 0,25 - 0,7377 approx -0,4877 :
x2 = 2,3364 - -0,0919-0,4877 approx 2,3364 - 0,1884 approx 2,1480
Em seguida, a derivada em :
Aplicando novamente a fórmula:

Resposta

A raiz aproximada após duas iterações do método de Newton é 2,25240.
Resposta correta: letra (d) 2,25240

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