Dada a função 2 sen(2 x). Se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja x 0=57,019906663, que:
(a) A primeira iteração produzirá a aproximação dada por 56,33172 .
(b) A primeira iteração produzirá a aproximação dada por 57,33407.
© Dentro da precisão exigida, não posso usar o método de Newton pois a derivada no ponto inicial é zero.
(d) A primeira iteração produzirá a aproximação dada por 57,91459.
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos usar o método de Newton para encontrar uma raiz dessa função, começando do palpite inicial . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar o método de Newton, que envolve a função e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método de Newton. É uma técnica iterativa para encontrar aproximações de raízes de uma função. A fórmula é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, é a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da nossa função f'(x) = ddx [2 sin(2x)] = 4 cos(2x) . Usando regras de derivação, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Newton usando o valor inicial f(x0) = 2 sin(2 times 57,019906663) = 2 sin(114,039813326) . Primeiramente, calculamos :

Passo 5

Em seguida, calculamos f'(x0) = 4 cos(2 times 57,019906663) = 4 cos(114,039813326) :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do método de Newton para encontrar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 57,019906663 - 2 sin(114,039813326)4 cos(114,039813326) :
x1 = 57,019906663 - sin(114,039813326)2 cos(114,039813326) = 57,019906663 - 12 tan(114,039813326)
Simplificando:

Passo 7

Calculando o valor numérico da expressão acima (usando uma calculadora):
x1 approx 57,019906663 - 12 times tan(114,039813326) approx 57,019906663 - 0,33406497 approx 56,685841693

Resposta

A aproximação mais próxima é a opção (a) A primeira iteração produzirá a aproximação dada por 56,33172.

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