Seja um sistema linear A x=b, com
Utilizando a eliminação gaussiana com pivoteamento parcial, será necessária a utilização de troca de linhas para calcular os seguintes pivôs (marque todos que achar necessios):
(a) para o cálculo do primeiro pivô.
(b) para o cálculo do segundo pivô.
© para o cálculo do terceiro pivô.
(d) não será necessria a utilização de troca de linhas para o cálculo dos pivôs.
(e) Não sei

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear usando a eliminação gaussiana com pivoteamento parcial. O conteúdo que vamos utilizar aqui é da Álgebra Linear, especificamente o método de eliminação gaussiana e o conceito de pivoteamento parcial. Para isso, vamos precisar identificar quando é necessário realizar trocas de linhas para garantir a estabilidade numérica durante o processo de resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz A = 3 & 2 & 1 & 2 6 & 7 & 4 & 5 3 & 8 & 6 & 7 9 & 9 & 7 & 15 , b = 140 381 404 676 e o vetor :
Nosso objetivo é transformar a matriz em uma matriz triangular superior para facilitar a resolução do sistema.

Passo 3

Primeiro Pivô:
No pivoteamento parcial, sempre escolhemos o maior valor absoluto na coluna do pivô para reduzir erros numéricos. Para o primeiro pivô, olhamos para a primeira coluna:
3 6 3 9
O maior valor absoluto aqui é 9 na quarta linha. Isso significa que precisamos trocar a primeira linha com a quarta linha para que o pivô seja o maior possível.

Passo 4

Segundo Pivô:
Após a troca, a matriz fica:
A = 9 & 9 & 7 & 15 6 & 7 & 4 & 5 3 & 8 & 6 & 7 3 & 2 & 1 & 2
Agora, buscamos o segundo pivô na segunda coluna, ignorando a primeira linha já processada:
7 8 2
O maior valor absoluto é 8 na terceira linha. Portanto, precisamos trocar a segunda linha com a terceira linha para escolher o melhor pivô.

Passo 5

Terceiro Pivô:
Após a segunda troca, a matriz fica:
A = 9 & 9 & 7 & 15 3 & 8 & 6 & 7 6 & 7 & 4 & 5 3 & 2 & 1 & 2
Agora, buscamos o terceiro pivô na terceira coluna, considerando as linhas a partir da terceira:
4 1
O maior valor absoluto aqui é 4 na terceira linha. Como já está na posição correta, não é necessário trocar as linhas.

Resposta

(d) Não será necessária a utilização de troca de linhas para o cálculo dos pivôs.

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