Seja a função f(x)=2 x-log x-7. Usando o método da falsa posição no intervalo [4,1 ; 4,3] e 2 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 4,17732
(b) 4,21991
© 4,29523
(d) 4,19462
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar uma aproximação para a raiz dessa função usando o método da falsa posição dentro do intervalo com duas iterações. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra numérica, especificamente o método da falsa posição, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma mais eficiente que métodos simples como a bissecção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da falsa posição. Esse método utiliza uma linha reta para aproximar a função entre dois pontos do intervalo dado e encontra onde essa linha cruza o eixo c = b - f(b) times b - af(b) - f(a) , que será nossa aproximação para a raiz. A fórmula para encontrar esse ponto é:
Aqui, e são os limites do intervalo inicial, e e são os valores da função nesses pontos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores iniciais do intervalo f(4,1) = 2 times 4,1 - log(4,1) - 7 f(4,1) = 8,2 - 1,411 - 7 f(4,1) approx -0,211 . Primeiro, calculamos f(4,3) = 2 times 4,3 - log(4,3) - 7 f(4,3) = 8,6 - 1,458 - 7 f(4,3) approx 0,142 e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar c = 4,3 - 0,142 times 4,3 - 4,10,142 - (-0,211) c approx 4,3 - 0,142 times 0,20,353 c approx 4,3 - 0,142 times 0,566 c approx 4,3 - 0,080 c approx 4,220 :
Então, nossa primeira aproximação para a raiz é .

Passo 5

Agora, fazemos uma segunda iteração usando o novo ponto f(4,220) = 2 times 4,220 - log(4,220) - 7 f(4,220) approx 8,440 - 1,443 - 7 f(4,220) approx -0,003 . Calculamos :
Como está muito próximo de zero, já temos uma boa aproximação para a raiz.

Resposta

A aproximação para a raiz após duas iterações é 4,21991, que corresponde à opção (b).

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