Seja a função f(x)=cos ^2 x+2 x-2. Usando o método da secante com x0=0,6, x1=0,8 e 2 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0,71998
(b) 0,70916
© 0,71484
(d) 0,70985
(e) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar uma aproximação para a raiz dessa função usando o método da secante. Para isso, vamos usar os valores iniciais e e fazer duas iterações do método. Vamos precisar entender como funciona o método da secante e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o método da secante. É um método numérico para encontrar raízes de funções que usa duas aproximações iniciais e a fórmula da secante para gerar aproximações sucessivas. A fórmula para a próxima aproximação x2 = x1 - f(x1) cdot x1 - x0f(x1) - f(x0) é dada por:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando f(0,6) = cos^2(0,6) + 2 times 0,6 - 2 com cos(0,6) approx 0,8253356 :
cos^2(0,6) approx (0,8253356)^2 approx 0,6816306
Primeiro, calculamos f(0,6) approx 0,6816306 + 1,2 - 2 = -0,1183694 :
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, calculando f(0,8) = cos^2(0,8) + 2 times 0,8 - 2 com cos(0,8) approx 0,6967067 :
cos^2(0,8) approx (0,6967067)^2 approx 0,4850093
Calculando f(0,8) approx 0,4850093 + 1,6 - 2 = 0,0850093 :
Então,
Portanto,

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da secante para encontrar x2 = 0,8 - 0,0850093 cdot 0,8 - 0,60,0850093 - (-0,1183694) :
0,0850093 - (-0,1183694) = 0,2033787
Calculando o denominador:
x2 = 0,8 - 0,0850093 cdot 0,20,2033787 approx 0,8 - 0,0850093 cdot 0,98377 approx 0,8 - 0,08368 approx 0,71632
Então,

Passo 6

Agora, fazemos a segunda iteração usando f(0,71632) = cos^2(0,71632) + 2 times 0,71632 - 2 e cos(0,71632) approx 0,753902 .
Calculando cos^2(0,71632) approx (0,753902)^2 approx 0,568407 :
f(0,71632) approx 0,568407 + 1,43264 - 2 = 0,001047
Calculando :
Então,
Portanto,

Passo 7

Aplicamos novamente a fórmula da secante para encontrar x3 = 0,71632 - 0,001047 cdot 0,71632 - 0,80,001047 - 0,0850093 :
0,001047 - 0,0850093 = -0,0839623
Calculando o denominador:
x3 = 0,71632 - 0,001047 cdot -0,08368-0,0839623 approx 0,71632 - 0,001047 cdot 0,9979 approx 0,71632 - 0,001045 approx 0,715275
Então,

Resposta

A aproximação para a raiz após duas iterações é aproximadamente . Comparando com as opções, a resposta mais próxima é a letra © 0,71484.

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