Seja a função f(x)=ln x-x^481. Usando o método da secante com tol =10^-10, x0=0,5, x1=1,5 e 2 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0,959005
(b) 1.169235
© 1,018254
(d) 1,017758
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar uma raiz dela usando o método da secante. A raiz é onde . Para isso, vamos usar os pontos iniciais e , uma tolerância de e fazer 2 iterações. O método da secante é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, similar ao método de Newton, mas sem precisar calcular derivadas.

Passo 2

Primeira, vamos relembrar a fórmula do método da secante para atualizar os valores de xn+1 = xn - f(xn) cdot xn - xn-1f(xn) - f(xn-1) :
f(0,5) = ln(0,5) - (0,5)^481 = -0,6931 - 0,062581 approx -0,6931 - 0,000771 = -0,6939
Vamos calcular f(1,5) = ln(1,5) - (1,5)^481 = 0,4055 - 5,062581 approx 0,4055 - 0,0625 = 0,3430 e x2 = 1,5 - 0,3430 cdot 1,5 - 0,50,3430 - (-0,6939) = 1,5 - 0,3430 cdot 11,0369 approx 1,5 - 0,3430 cdot 0,9647 approx 1,5 - 0,3307 = 1,1693 :
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Passo 3

Vamos fazer a segunda iteração usando f(1,1693) = ln(1,1693) - (1,1693)^481 approx 0,1567 - 1,852181 approx 0,1567 - 0,0228 = 0,1339 e x3 = 1,1693 - 0,1339 cdot 1,1693 - 1,50,1339 - 0,3430 = 1,1693 - 0,1339 cdot -0,3307-0,2091 approx 1,1693 - 0,1339 cdot 1,583 = 1,1693 - 0,2123 = 0,9570 . Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar :

Resposta

Após 2 iterações usando o método da secante, a aproximação para a raiz é 0,959005.
Resposta correta: (a) 0,959005

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