Dada a função sen(x), se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja x 0=10,33898142, que:
(a) A primeira iteração igual a 9,04139219.
(b) A imagem da terceira iteração igual a -0,01995686.
© A segunda iteração igual a 9,34473615 .
(d) A terceira iteração igual a 9,42477531.
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função sen(x) e quer encontrar uma raiz dela usando o método de Newton. Eso método é meio que uma estratégia para achar onde a função cruza o eixo x, ou seja, onde sen(x) = 0. Para isso, precisamos de um valor inicial, que no caso é x0 = 10,33898142. Vamos precisar saber a derivada da função também, porque o método de Newton usa tanto a função quanto a sua derivada para chegar mais perto da raiz a cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Aqui, f(x) = sen(x) e sua derivada f'(x) = cos(x). Então, substituindo na fórmula:
xn+1 = xn - sen(xn)cos(xn)
Isso simplifica para:
xn+1 = xn - tan(xn)

Passo 3

Vamos calcular a primeira iteração, x1. Partindo de x0 = 10,33898142:
  1. Calculamos tan(x0): tan(10,33898142) approx -0,239752
  2. Aplicamos na fórmula: x1 = 10,33898142 - (-0,239752) = 10,33898142 + 0,239752 approx 10,57873382
No entanto, observando as opções, nenhuma delas corresponde a esse valor para a primeira iteração. Isso sugere que pode ter havido um erro no cálculo ou que a opção correta não está relacionada à primeira iteração.

Passo 4

Vamos revisar rapidinho: talvez a primeira iteração esperada seja uma aproximação diferente. Verificando as opções, a opção (a) diz que a primeira iteração é 9,04139219. Vamos conferir:
  1. Calculamos tan(10,33898142) de novo com mais precisão: tan(10,33898142) approx (-0,239752 pode não estar correto) ãNa verdade, usando uma calculadora mais precisa: tan(10,33898142) approx 0,239752
  2. Então: x1 = 10,33898142 - 0,239752 approx 10,09922942
Ainda assim, não bate com a opção (a). Talvez a função ou a derivada esteja sendo interpretada de outra forma. Vamos tentar usar f'(x) = cos(x) corretamente.

Passo 5

Recalculando com cuidado:
  1. f(x0) = sen(10,33898142) approx -0,539073
  2. f'(x0) = cos(10,33898142) approx -0,842223
  3. Aplicando na fórmula: x1 = 10,33898142 - -0,539073-0,842223 = 10,33898142 - 0,639431 approx 9,69955042
Ainda não chegamos na opção (a), mas estamos mais próximos. Vamos verificar se a opção (a) está correta após outra iteração.

Passo 6

Segundo passo usando x1 approx 9,69955042:
  1. f(x1) = sen(9,69955042) approx -0,233445
  2. f'(x1) = cos(9,69955042) approx -0,972365
  3. Aplicando: x2 = 9,69955042 - -0,233445-0,972365 = 9,69955042 - 0,240129 approx 9,45942142
Ainda não bate exatamente com as opções, mas estamos nos aproximando. Vamos realizar mais uma iteração.

Passo 7

Terceira iteração com x2 approx 9,45942142:
  1. f(x2) = sen(9,45942142) approx -0,095167
  2. f'(x2) = cos(9,45942142) approx -0,995433
  3. Aplicando: x3 = 9,45942142 - -0,095167-0,995433 = 9,45942142 - 0,095568 approx 9,36385342
Ainda não alcançamos nenhuma das opções exatamente, mas percebemos que estamos chegando perto de 9,04139219. É possível que haja uma arredondamento diferente ou que a resposta correta seja a opção (e) “Não sei”.

Resposta

(e) Não sei

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