Dada a tabela que segue, determine o polinômio interpolador que passe por todos os pontos e calcule f(1,32).
xi 1,3 1,4 1,5
fi 3,669 4,055 4,482
(a) 3,865
(b) 3,743
© 3,701
(d) 3,998
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação! A gente tem uma tabela com três pontos e precisa achar um polinômio que passe por todos eles. Depois, vamos usar esse polinômio para calcular .
Conteúdo da matéria: Interpolação polinomial, especificamente o Polinômio de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a fórmula do Polinômio de Lagrange.
  • Saber substituir os valores na fórmula.
  • Fazer os cálculos necessários para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Polinômio de Lagrange. Para três pontos, o polinômio P(x) = f1 cdot (x - x2)(x - x3)(x1 - x2)(x1 - x3) + f2 cdot (x - x1)(x - x3)(x2 - x1)(x2 - x3) + f3 cdot (x - x1)(x - x2)(x3 - x1)(x3 - x2) é dado por:
Onde , , e são os pontos dados na tabela.

Passo 3

Vamos identificar os nossos pontos:
x1 = 1,3 & f1 = 3,669 x2 = 1,4 & f2 = 4,055 x3 = 1,5 & f3 = 4,482
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do Polinômio de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular cada parte do polinômio separadamente.
Primeiro termo:
f1 cdot (x - x2)(x - x3)(x1 - x2)(x1 - x3) = 3,669 cdot (x - 1,4)(x - 1,5)(1,3 - 1,4)(1,3 - 1,5)
Calculando os denominadores:
1,3 - 1,4 = -0,1 1,3 - 1,5 = -0,2
Então:
3,669 cdot (x - 1,4)(x - 1,5)(-0,1)(-0,2) = 3,669 cdot (x - 1,4)(x - 1,5)0,02
Segundo termo:
f2 cdot (x - x1)(x - x3)(x2 - x1)(x2 - x3) = 4,055 cdot (x - 1,3)(x - 1,5)(1,4 - 1,3)(1,4 - 1,5)
Calculando os denominadores:
1,4 - 1,3 = 0,1 1,4 - 1,5 = -0,1
Então:
4,055 cdot (x - 1,3)(x - 1,5)(0,1)(-0,1) = 4,055 cdot (x - 1,3)(x - 1,5)-0,01
Terceiro termo:
f3 cdot (x - x1)(x - x2)(x3 - x1)(x3 - x2) = 4,482 cdot (x - 1,3)(x - 1,4)(1,5 - 1,3)(1,5 - 1,4)
Calculando os denominadores:
1,5 - 1,3 = 0,2 1,5 - 1,4 = 0,1
Então:
4,482 cdot (x - 1,3)(x - 1,4)(0,2)(0,1) = 4,482 cdot (x - 1,3)(x - 1,4)0,02

Passo 5

Agora, vamos juntar todos os termos para formar o polinômio P(x) = 3,669 cdot (x - 1,4)(x - 1,5)0,02 + 4,055 cdot (x - 1,3)(x - 1,5)-0,01 + 4,482 cdot (x - 1,3)(x - 1,4)0,02 :
3,669 div 0,02 = 183,45 Rightarrow 183,45 cdot (x - 1,4)(x - 1,5)
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
4,055 div -0,01 = -405,5 Rightarrow -405,5 cdot (x - 1,3)(x - 1,5)
Segundo termo:
4,482 div 0,02 = 224,1 Rightarrow 224,1 cdot (x - 1,3)(x - 1,4)
Terceiro termo:

Passo 6

Agora, vamos substituir P(1,32) = 183,45 cdot (1,32 - 1,4)(1,32 - 1,5) + (-405,5) cdot (1,32 - 1,3)(1,32 - 1,5) + 224,1 cdot (1,32 - 1,3)(1,32 - 1,4) no polinômio 1,32 - 1,4 = -0,08 1,32 - 1,5 = -0,18 Rightarrow 183,45 cdot (-0,08)(-0,18) = 183,45 cdot 0,0144 approx 2,638 :
1,32 - 1,3 = 0,02 1,32 - 1,5 = -0,18 Rightarrow -405,5 cdot (0,02)(-0,18) = -405,5 cdot (-0,0036) approx 1,460
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
1,32 - 1,3 = 0,02 1,32 - 1,4 = -0,08 Rightarrow 224,1 cdot (0,02)(-0,08) = 224,1 cdot (-0,0016) approx -0,359
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
P(1,32) approx 2,638 + 1,460 - 0,359 = 3,739

Resposta

Aproximadamente . Entre as opções, a mais próxima é a letra (b) 3,743.

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