Uma função varia em função da variável segundo a tabela
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
1,0000 1,2840 1,6487 2,1179 2,7183
Utilizando o método dos mínimos quadrados, ajuste uma função do tipo .
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e . Nosso objetivo é encontrar uma função quadrática da forma que se ajuste melhor aos dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos calcular os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. É uma técnica usada para encontrar a melhor linha ou curva que se ajusta aos dados disponíveis, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela função.

Passo 3

Para uma função quadrática , precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos nossos dados. Isso envolve montar um sistema de equações baseado nos dados fornecidos.

Passo 4

Vamos organizar os dados:

Passo 5

Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos.

Passo 6

Calculando as somas:

Passo 7

Agora, vamos montar o sistema de equações normal para encontrar , e :
Onde é o número de pontos de dados, que aqui é 5.
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 8

Vamos resolver esse sistema de equações. Para simplificar, podemos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, usaremos o método de substituição.
Primeiro, da terceira equação:
Podemos expressar em termos de e :

Passo 9

Agora, substituímos na primeira e segunda equações:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 10

Resolvendo a primeira equação:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Isolando:

Passo 11

Agora, resolvendo a segunda equação da mesma forma:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Isolando:

Passo 12

Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (2) por para eliminar .
Calculando:
Multiplicando a equação (2):
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (3):

Passo 13

Agora, substituímos o valor de na equação (1):

Passo 14

Agora, com os valores de e , vamos encontrar usando a expressão que derivamos anteriormente:
Substituindo e :

Passo 15

Agora, temos os coeficientes aproximados:
Vamos comparar com as opções fornecidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Nenhuma das opções corresponde aos valores que calculamos. Parece que houve um erro nos cálculos ou na interpretação das equações. No entanto, como estamos trabalhando com aproximações e as opções fornecidas têm coeficientes menores, talvez seja necessário revisar os cálculos ou considerar que as opções podem ter sido ajustadas de forma diferente.

Resposta

(e) Não sei

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Dada a tabela que segue, determine o polinômio interpolador que passe por todos os pontos e calcule .
1,3 1,4 1,5
3,669 4,055 4,482
(a) 3,865
(b) 3,743
© 3,701
(d) 3,998
(e) Não sei
Seja a função . Usando o método da falsa posição no intervalo [0.49, 0.56], e 3 iterações, vai ser encontrada uma aproximação da raiz:
(a) 0,56250
(b) 0,55700
© 0,55250
(d) 0,56775
(e) Não sei
Dada a função , se utilizarmos o método de Newton, podemos afirmar, caso valor inicial seja , que:
(a) A primeira iteração igual a .
(b) A imagem da terceira iteração igual a -0,01995686.
© A segunda iteração igual a 9,34473615 .
(d) A terceira iteração igual a 9,42477531.
(e) Não sei
Seja a função . Usando o método da falsa posição no intervalo e 2 iterações, com tol , encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 0,714697
(b) 0,714916
(d) 0,714836
(e) Não sei