Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e . Nosso objetivo é encontrar uma função quadrática da forma que se ajuste melhor aos dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos calcular os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela função .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. É uma técnica usada para encontrar a melhor linha ou curva que se ajusta aos dados disponíveis, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela função.
Passo 3
Para uma função quadrática , precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos nossos dados. Isso envolve montar um sistema de equações baseado nos dados fornecidos.
Passo 4
Vamos organizar os dados:
Passo 5
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos.
Passo 6
Calculando as somas:
Passo 7
Agora, vamos montar o sistema de equações normal para encontrar , e :
Onde é o número de pontos de dados, que aqui é 5.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema de equações. Para simplificar, podemos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, usaremos o método de substituição.
Primeiro, da terceira equação:
Podemos expressar em termos de e :
Passo 9
Agora, substituímos na primeira e segunda equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 10
Resolvendo a primeira equação:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Isolando:
Passo 11
Agora, resolvendo a segunda equação da mesma forma:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Isolando:
Passo 12
Agora, temos o seguinte sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (2) por para eliminar .
Calculando:
Multiplicando a equação (2):
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (3):
Passo 13
Agora, substituímos o valor de na equação (1):
Passo 14
Agora, com os valores de e , vamos encontrar usando a expressão que derivamos anteriormente:
Nenhuma das opções corresponde aos valores que calculamos. Parece que houve um erro nos cálculos ou na interpretação das equações. No entanto, como estamos trabalhando com aproximações e as opções fornecidas têm coeficientes menores, talvez seja necessário revisar os cálculos ou considerar que as opções podem ter sido ajustadas de forma diferente.