Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e . Nosso objetivo é encontrar uma função quadrática da forma que se ajuste melhor aos dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, precisamos calcular os valores de , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pela função .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. É uma técnica usada para encontrar a melhor linha ou curva que se ajusta aos dados disponíveis, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela função.
Passo 3
Para uma função quadrática , precisamos encontrar os coeficientes , e que melhor se ajustam aos nossos dados. Isso envolve montar um sistema de equações baseado nos dados fornecidos.
Passo 4
Vamos organizar os dados:
Passo 5
Para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular algumas somas:
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos.
Passo 6
Calculando as somas:
Passo 7
Agora, vamos montar o sistema de equações normal para encontrar , e :
Onde é o número de pontos de dados, que aqui é 5.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 8
Vamos resolver esse sistema de equações. Para simplificar, podemos usar métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Aqui, usaremos o método de substituição.
Primeiro, da terceira equação:
1.875a + 2.50b + 5c = 8.7689
Podemos expressar a = 8.7689 - 2.50b - 5c1.875 em termos de e :
Passo 9
Agora, substituímos 1.3828125 ( 8.7689 - 2.50b - 5c1.875 ) + 1.5625b + 1.875c = 4.4821625 na primeira e segunda equações:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a equação (2) por k = 0.28360.2083 approx 1.360 para eliminar 1.360 times 0.2083b + 1.360 times 1.6667c = 1.360 times 1.860425 .
Agora, substituímos o valor de 0.2836b + 1.805 times 1.199 = 1.9730375 0.2836b + 2.163595 = 1.9730375 0.2836b = 1.9730375 - 2.163595 0.2836b = -0.1905575 b approx -0.19055750.2836 approx -0.672 na equação (1):
Passo 14
Agora, com os valores de a = 8.7689 - 2.50b - 5c1.875 e a = 8.7689 - 2.50 times (-0.672) - 5 times 1.1991.875 a = 8.7689 + 1.68 - 5.9951.875 a = 4.45391.875 approx 2.376 , vamos encontrar usando a expressão que derivamos anteriormente:
Nenhuma das opções corresponde aos valores que calculamos. Parece que houve um erro nos cálculos ou na interpretação das equações. No entanto, como estamos trabalhando com aproximações e as opções fornecidas têm coeficientes menores, talvez seja necessário revisar os cálculos ou considerar que as opções podem ter sido ajustadas de forma diferente.