É dada uma função tal que:
  1. f(x) cdot f(y)=f(x+y)
  2. f(1)=2
  3. f(raiz2)=4
    Calcule f(3+raiz2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função com três propriedades:
Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e propriedades de funções que transformam somas em produtos.

Passo 2

Primeiro, observamos a primeira propriedade: . Isso nos lembra a propriedade das funções exponenciais, onde . Então, podemos supor que a função seja uma função exponencial da forma .

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda propriedade f(1) = a^1 = a = 2 para encontrar o valor de . Substituindo na nossa hipótese:
Então, a função fica .

Passo 4

Vamos verificar se essa função satisfaz a terceira propriedade f(raiz2) = 2^raiz2 :
2^raiz2 = 4 implies raiz2 = 2
Queremos que isso seja igual a 4:
Aqui percebemos um problema: não é igual a 2. Isso indica que nossa suposição inicial pode estar incorreta ou que precisamos de outra abordagem para essa função.

Passo 5

Vamos tentar uma abordagem diferente. Suponhamos que a função seja tal que 2^k cdot 1 = 2 implies k = 1 , onde é uma constante a ser determinada. Usando :
Então, a função permanece , o que nos leva de volta ao mesmo problema. Portanto, parece que há uma inconsistência nas propriedades dadas.

Passo 6

Apesar da inconsistência, vamos seguir em frente com a função f(3 + raiz2) = 2^3 + raiz2 = 2^3 cdot 2^raiz2 = 8 cdot 2^raiz2 para calcular 2^raiz2 = 4 implies f(3 + raiz2) = 8 cdot 4 = 32 :
Sabemos que , então:

Resposta

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