Prove que
, para todo natural
. (Dica: basta mostrar que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
para todo número natural
. Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo frações e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular frações e comparar expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os denominadores das duas frações:
e
. Como
, sabemos que
é um número natural positivo. Vamos ver qual dos denominadores é maior.
Passo 3
Observando
, podemos fatorar essa expressão:
Como
, tanto
quanto
são positivos, então
.
Passo 4
Agora, vamos comparar
e
. Sabemos que:
porque estamos subtraindo um número positivo (
) de
.
Passo 5
Como
e ambos os denominadores são positivos, ao invertermos essas frações, a desigualdade se inverte:
Isso porque, em frações positivas, quanto maior o denominador, menor o valor da fração.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo número natural
.
Exercícios relacionados
Obtenha a reta que passa pelos pontos
e
.
É dada uma função tal que:
-
-
-
Calcule
Determine os zeros da função
Quantos inteiros n positivos satisfazem a inequação abaixo: