Prove que 1n^2<1n^2-n, para todo natural n >= 2. (Dica: basta mostrar que n>0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que 1n^2 < 1n^2-n para todo número natural n >= 2. Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo frações e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular frações e comparar expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores das duas frações: n^2 e n^2 - n. Como n >= 2, sabemos que n é um número natural positivo. Vamos ver qual dos denominadores é maior.

Passo 3

Observando n^2 - n, podemos fatorar essa expressão:
n^2 - n = n(n - 1)
Como n >= 2, tanto n quanto (n - 1) são positivos, então n^2 - n > 0.

Passo 4

Agora, vamos comparar n^2 e n^2 - n. Sabemos que:
n^2 > n^2 - n
porque estamos subtraindo um número positivo ( n) de n^2.

Passo 5

Como n^2 > n^2 - n e ambos os denominadores são positivos, ao invertermos essas frações, a desigualdade se inverte:
1n^2 < 1n^2 - n
Isso porque, em frações positivas, quanto maior o denominador, menor o valor da fração.

Resposta

Portanto, provamos que 1n^2 < 1n^2-n para todo número natural n >= 2.

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