Prove que , para todo natural . (Dica: basta mostrar que ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para todo número natural . Aqui, estamos lidando com desigualdades envolvendo frações e expressões quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular frações e comparar expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os denominadores das duas frações: e . Como , sabemos que é um número natural positivo. Vamos ver qual dos denominadores é maior.

Passo 3

Observando , podemos fatorar essa expressão:
Como , tanto quanto são positivos, então .

Passo 4

Agora, vamos comparar e . Sabemos que:
porque estamos subtraindo um número positivo ( ) de .

Passo 5

Como e ambos os denominadores são positivos, ao invertermos essas frações, a desigualdade se inverte:
Isso porque, em frações positivas, quanto maior o denominador, menor o valor da fração.

Resposta

Portanto, provamos que para todo número natural .

Exercícios relacionados

Obtenha a reta que passa pelos pontos e .
É dada uma função tal que:

  1. Calcule
Determine os zeros da função
Quantos inteiros n positivos satisfazem a inequação abaixo: