Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
. Se
então o sistema linear
não admite solução.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de tamanho
e um vetor
de dimensão
. A questão nos pergunta se, quando o posto de
é diferente do posto da matriz aumentada
, isso significa que o sistema linear
não tem solução. Vamos precisar entender o que é o posto de uma matriz e como ele se relaciona com a existência de soluções para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes que ela possui. Isso nos dá uma ideia de quantas direções diferentes o sistema pode “abranger”. Em termos mais simples, o posto nos diz quantas informações independentes a matriz contém.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre sistemas lineares. Um sistema linear como
consiste em um conjunto de equações lineares que buscamos resolver para encontrar o vetor
que satisfaz todas elas simultaneamente. A solução pode ser única, infinita ou inexistente, dependendo das propriedades da matriz
e do vetor
.
Passo 4
Existe um teorema importante chamado Teorema de Rouché-Capelli, que nos ajuda a determinar se um sistema linear tem solução. Segundo esse teorema, o sistema
tem solução se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes
é igual ao posto da matriz aumentada
. Ou seja, se
, o sistema tem pelo menos uma solução.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Rouché-Capelli ao nosso exercício, se
, isso significa que a adição do vetor
trouxe uma nova informação que não está no alcance da matriz
. Portanto, o sistema
não pode ter solução, já que
não está na imagem de
.
Resposta
Verdadeiro. Se o posto de
é diferente do posto de
, então o sistema linear
não admite solução.