Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de
são:
. Então
é positiva definida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
cujos autovalores são
. A pergunta é: isso significa que
é positiva definida? Para responder, precisamos saber o que é uma matriz positiva definida e como os autovalores estão relacionados a essa propriedade.
Passo 2
Uma matriz é chamada de positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Isso é importante porque matrizes positivas definidas têm propriedades que garantem, por exemplo, que certas equações têm soluções únicas e que funções associadas têm mínimos claros.
Passo 3
Vamos analisar os autovalores de
:
. Observamos que um dos autovalores é
, que é negativo.
Passo 4
Como a definição de matriz positiva definida requer que todos os autovalores sejam positivos, o fato de
ter um autovalor negativo (
) significa que
não é positiva definida.
Resposta
Falso. A matriz
não é positiva definida porque possui um autovalor negativo (
).