Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é positiva definida.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz cujos autovalores são . A pergunta é: isso significa que é positiva definida? Para responder, precisamos saber o que é uma matriz positiva definida e como os autovalores estão relacionados a essa propriedade.

Passo 2

Uma matriz é chamada de positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Isso é importante porque matrizes positivas definidas têm propriedades que garantem, por exemplo, que certas equações têm soluções únicas e que funções associadas têm mínimos claros.

Passo 3

Vamos analisar os autovalores de : . Observamos que um dos autovalores é , que é negativo.

Passo 4

Como a definição de matriz positiva definida requer que todos os autovalores sejam positivos, o fato de ter um autovalor negativo ( ) significa que não é positiva definida.

Resposta

Falso. A matriz não é positiva definida porque possui um autovalor negativo ( ).

Exercícios relacionados

Responda verdadeiro ou falso (e justifique): . Se então o sistema linear não admite solução.
Dada a matriz e o vetor ,
resolva o sistema linear através da Decomposição de Cholesky.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então o traço de é 7 e o determinante de é 15 .
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A decomposição de Cholesky só pode ser empregada para se resolver sistemas lineares se for simétrica e positiva definida.