Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é positiva definida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz cujos autovalores são . A pergunta é: isso significa que é positiva definida? Para responder, precisamos saber o que é uma matriz positiva definida e como os autovalores estão relacionados a essa propriedade.
Passo 2
Uma matriz é chamada de positiva definida se todos os seus autovalores são positivos. Isso é importante porque matrizes positivas definidas têm propriedades que garantem, por exemplo, que certas equações têm soluções únicas e que funções associadas têm mínimos claros.
Passo 3
Vamos analisar os autovalores de : . Observamos que um dos autovalores é , que é negativo.
Passo 4
Como a definição de matriz positiva definida requer que todos os autovalores sejam positivos, o fato de ter um autovalor negativo () significa que não é positiva definida.
Resposta
Falso. A matriz não é positiva definida porque possui um autovalor negativo ().