Dada a matriz de coeficientes,
(b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma matriz de coeficientes e pede para descobrir se existe algum valor para que faça o método de Jacobi convergir, mas o método de Gauss-Seidel não convergir. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e quais são os critérios que garantem a convergência de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular rapidinho o que são os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Ambos são métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, mas eles atualizam as soluções de formas ligeiramente diferentes. A convergência desses métodos depende das propriedades da matriz dos coeficientes, como a dominância diagonal.

Passo 3

Vamos falar sobre dominância diagonal. Uma matriz é dita ser diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha. Matematicamente, para cada linha :
Isso ajuda a garantir que os métodos iterativos vão se aproximar da solução.

Passo 4

Para o método de Jacobi, uma condição comum para a convergência é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante. Ou seja, em cada linha:
Já para o método de Gauss-Seidel, a condição é similar, mas o método tende a convergir mesmo quando a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, desde que a matriz seja simétrica e positiva definida.

Passo 5

Vamos analisar a nossa matriz:
Vamos verificar quando essa matriz é diagonalmente dominante.

Passo 6

Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:

Passo 7

Agora, para que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas (condição para Jacobi), precisamos que ambas as primeiras e últimas linhas satisfaçam:
Ou seja:
Isso significa que pode ser qualquer número cuja magnitude esteja entre 7 e 10.

Passo 8

Agora, vamos pensar no método de Gauss-Seidel. Como mencionamos, esse método pode convergir mesmo quando a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, mas se for, ele certamente converge. Além disso, se a matriz for simétrica e positiva definida, Gauss-Seidel também converge.
No nosso caso, a matriz não é necessariamente simétrica, então vamos focar na dominância diagonal.

Passo 9

Observando os intervalos para :
  • Se , Jacobi converge porque a matriz é estritamente diagonalmente dominante.
  • Como Gauss-Seidel geralmente tem condições menos restritivas, se Jacobi converge, Gauss-Seidel também converge.

Passo 10

Portanto, não existe um valor de que faça o método de Jacobi convergir enquanto o método de Gauss-Seidel não converge. Se Jacobi consegue, Gauss-Seidel também consegue.

Resposta

Não existe nenhum valor para que faça o método de Jacobi convergir enquanto o método de Gauss-Seidel não converge.

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