(b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá uma matriz de coeficientes e pede para descobrir se existe algum valor para que faça o método de Jacobi convergir, mas o método de Gauss-Seidel não convergir. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e quais são os critérios que garantem a convergência de cada um.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular rapidinho o que são os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel. Ambos são métodos iterativos para resolver sistemas de equações lineares, mas eles atualizam as soluções de formas ligeiramente diferentes. A convergência desses métodos depende das propriedades da matriz dos coeficientes, como a dominância diagonal.
Passo 3
Vamos falar sobre dominância diagonal. Uma matriz é dita ser diagonalmente dominante se, em cada linha, o valor absoluto do elemento da diagonal é maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros elementos dessa linha. Matematicamente, para cada linha :
Isso ajuda a garantir que os métodos iterativos vão se aproximar da solução.
Passo 4
Para o método de Jacobi, uma condição comum para a convergência é que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante. Ou seja, em cada linha:
Já para o método de Gauss-Seidel, a condição é similar, mas o método tende a convergir mesmo quando a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, desde que a matriz seja simétrica e positiva definida.
Passo 5
Vamos analisar a nossa matriz:
Vamos verificar quando essa matriz é diagonalmente dominante.
Passo 6
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Passo 7
Agora, para que a matriz seja estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas (condição para Jacobi), precisamos que ambas as primeiras e últimas linhas satisfaçam:
Ou seja:
Isso significa que pode ser qualquer número cuja magnitude esteja entre 7 e 10.
Passo 8
Agora, vamos pensar no método de Gauss-Seidel. Como mencionamos, esse método pode convergir mesmo quando a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, mas se for, ele certamente converge. Além disso, se a matriz for simétrica e positiva definida, Gauss-Seidel também converge.
No nosso caso, a matriz não é necessariamente simétrica, então vamos focar na dominância diagonal.
Passo 9
Observando os intervalos para :
Se , Jacobi converge porque a matriz é estritamente diagonalmente dominante.
Como Gauss-Seidel geralmente tem condições menos restritivas, se Jacobi converge, Gauss-Seidel também converge.
Passo 10
Portanto, não existe um valor de que faça o método de Jacobi convergir enquanto o método de Gauss-Seidel não converge. Se Jacobi consegue, Gauss-Seidel também consegue.
Resposta
Não existe nenhum valor para que faça o método de Jacobi convergir enquanto o método de Gauss-Seidel não converge.