Dado o sistema linear,
(b) Encontre o(s) valor(es) de
para o(s) qual(is) o sistema tem um número infinito de soluções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares! A gente tem um sistema com duas equações e duas incógnitas, e precisa descobrir para quais valores de
o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas proporcionais e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para deixar tudo mais claro:
Passo 3
Para que um sistema de duas equações tenha infinitas soluções, as duas equações precisam ser equivalentes ou proporcionais. Ou seja, uma equação deve ser um múltiplo da outra. Isso significa que os coeficientes das incógnitas e os termos constantes devem ter a mesma proporção.
Passo 4
Vamos comparar os coeficientes das duas equações:
- Proporção dos coeficientes de
:
- Proporção dos coeficientes de
:
- Proporção dos termos constantes:
Para que as equações sejam proporcionais, todas essas proporções devem ser iguais. Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver a equação
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos verificar se essa valor de
satisfaz também a segunda proporção
:
Substituindo
:
Tudo confere!
Resposta
O valor de
que faz o sistema ter infinitas soluções é
.