Dado o sistema linear,
l 2 x1-6 alpha x2=3 3 alpha x1-x2=32
(b) Encontre o(s) valor(es) de alpha para o(s) qual(is) o sistema tem um número infinito de soluções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares! A gente tem um sistema com duas equações e duas incógnitas, e precisa descobrir para quais valores de o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas proporcionais e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para deixar tudo mais claro:
2x1 - 6alpha x2 = 3 3alpha x1 - x2 = dfrac32

Passo 3

Para que um sistema de duas equações tenha infinitas soluções, as duas equações precisam ser equivalentes ou proporcionais. Ou seja, uma equação deve ser um múltiplo da outra. Isso significa que os coeficientes das incógnitas e os termos constantes devem ter a mesma proporção.

Passo 4

Vamos comparar os coeficientes das duas equações:
  1. Proporção dos coeficientes de 23alpha :
-6alpha-1 = 6alpha
  1. Proporção dos coeficientes de 3dfrac32 = 2 :
23alpha = 6alpha = 2
  1. Proporção dos termos constantes:
Para que as equações sejam proporcionais, todas essas proporções devem ser iguais. Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver a equação 2 = 2 cdot 3alpha 2 = 6alpha alpha = dfrac26 alpha = dfrac13 :
Multiplicando ambos os lados por 6 cdot dfrac13 = 2 2 = 2 :
Agora, vamos verificar se essa valor de satisfaz também a segunda proporção :
Substituindo :
Tudo confere!

Resposta

O valor de que faz o sistema ter infinitas soluções é .

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