Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, utilizando . Verifique a convergência.(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja expressa em função das outras. Nosso ponto de partida é a solução inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema isolando cada variável. Isso vai facilitar as iterações do método de Jacobi. O sistema dado é:
Vamos isolar , e em cada equação:

Passo 3

Agora, vamos realizar a primeira iteração ( ) usando os valores iniciais :
Então, .

Passo 4

Vamos para a segunda iteração ( ) usando os valores de :
Assim, .

Passo 5

Para verificar a convergência do método de Jacobi, observamos se a matriz dos coeficientes é diagonal dominante. Uma matriz é diagonal dominante se, para cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Analisando a matriz:
  • Linha 1: ✔️
  • Linha 2: ✔️
  • Linha 3:
A terceira linha não é estritamente diagonal dominante, então o método de Jacobi não garante convergência para este sistema. No entanto, nas primeiras iterações, podemos continuar observando como os valores se comportam.

Resposta

As duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema dado são:
Além disso, a análise da matriz dos coeficientes indica que o método pode não convergir, já que a terceira linha não é diagonal dominante.

Exercícios relacionados

Responda verdadeiro ou falso:(b) A eliminação de Gauss pode falhar somente quando a matriz de coeficientes é malcondicionada ou singular.
Dada a matriz de coeficientes,
(b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.
Responda verdadeiro ou falso:© Se uma matriz tem zero na diagonal principal, então ela é necessariamente singular.