Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, utilizando . Verifique a convergência.(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações de forma que cada variável seja expressa em função das outras. Nosso ponto de partida é a solução inicial 0 & 0 & 0 .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema isolando cada variável. Isso vai facilitar as iterações do método de Jacobi. O sistema dado é:
Para verificar a convergência do método de Jacobi, observamos se a matriz dos coeficientes é diagonal dominante. Uma matriz é diagonal dominante se, para cada linha, o valor absoluto do elemento na diagonal é maior que a soma dos valores absolutos dos outros elementos da mesma linha.
Analisando a matriz:
3 & -1 & 1 3 & 6 & 2 4 & 3 & 7
Linha 1: ✔️
Linha 2: ✔️
Linha 3: ❌
A terceira linha não é estritamente diagonal dominante, então o método de Jacobi não garante convergência para este sistema. No entanto, nas primeiras iterações, podemos continuar observando como os valores se comportam.
Resposta
As duas primeiras iterações do método de Jacobi para o sistema dado são:
x^1 = 0,333 & 0 & 0,571
x^2 = 0,143 & -0,357 & 0,381
Além disso, a análise da matriz dos coeficientes indica que o método pode não convergir, já que a terceira linha não é diagonal dominante.