Responda verdadeiro ou falso:© Se uma matriz tem zero na diagonal principal, então ela é necessariamente singular.

Passo 1

Vamos lá! A pergunta é: “Se uma matriz tem zero na diagonal principal, então ela é necessariamente singular.” Vamos entender o que isso significa. Primeiro, matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. A diagonal principal são os elementos que vão do canto superior esquerdo ao inferior direito daquela tabela. E uma matriz singular é aquela que não tem inversa, ou seja, não podemos “desfazer” a multiplicação dela para voltar à matriz original.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos saber o que torna uma matriz singular ou não. Isso está ligado ao determinante da matriz. Se o determinante for zero, a matriz é singular; se for diferente de zero, a matriz não é singular (ou seja, é inversível).

Passo 3

Vamos considerar uma matriz quadrada com zeros na diagonal principal. Por exemplo:
O determinante de é calculado assim:

Passo 4

Agora, analisando o determinante:
  • Se ou for zero, então , e a matriz é singular.
  • Mas se e não forem zero, então , e a matriz não é singular.

Resposta

Falso. Uma matriz com zero na diagonal principal nem sempre é singular; depende dos outros elementos.

Exercícios relacionados

Dada a matriz de coeficientes,
(b) Existe algum valor para x de forma que seja comprovada a convergência de Jacobi e não seja comprovada a convergência de Gauss-Seidel? Justifique com um exemplo.
Encontre as duas primeiras iterações do método de Jacobi para os seguintes sistemas lineares, utilizando . Verifique a convergência.(a)
Para os sistemas abaixo, obtenha uma solução utilizando métodos gráficos, se possível. Explique os resultados do ponto de vista geométrico.(a)
Dado o sistema linear,
(a) Encontre o(s) valor(es) de para o(s) qual(is) o sistema não tem solução.