ln (x+1)=sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
Determine aproximadamente o erro relativo ( em %) que se comete ao considerar a expansão com o truncamento que segue em relação ao valor correto ln (1,73)= 0,548121409,
ln (x+1) approx x-x^22+x^33-x^44
(a) 7,08639 %
(b) 47,24260 %
© 2,36213 %
(d) 4,72426 %
(e) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função ln(x + 1) expressa como uma série infinita:
ln (x+1) = sumn=1^infty(-1)^(n+1) x^nn
A gente precisa usar uma aproximação dessa série, cortando depois do termo de ln (x+1) approx x - x^22 + x^33 - x^44 :
Nosso objetivo é calcular o erro relativo dessa aproximação em relação ao valor verdadeiro de . Para isso, vamos calcular o valor aproximado usando a série truncada e depois comparar com o valor real para achar o erro percentual.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de x + 1 = 1,73 Rightarrow x = 0,73 . Sabemos que queremos calcular x = 0,73 . A fórmula da série é -(0,73)^22 = -0,53292 = -0,26645 , então:
(0,73)^33 = 0,3890173 approx 0,129672
Agora, vamos calcular cada termo da aproximação usando -(0,73)^44 = -0,283982414 approx -0,0709956 :
  1. Primeiro termo ( 0,73 - 0,26645 + 0,129672 - 0,0709956 approx 0,5222264 ):
  2. Segundo termo ( ):
  3. Terceiro termo ( ):
  4. Quarto termo ( ):
Agora, somando todos esses termos:

Passo 3

Agora que temos o valor aproximado ( Erro Relativo (%) = ( |Valor Aproximado - Valor Verdadeiro||Valor Verdadeiro| ) times 100% ) e o valor verdadeiro ( Erro Relativo = ( |0,5222264 - 0,548121409|0,548121409 ) times 100% approx ( 0,0258950,548121409 ) times 100% approx 4,727% ), vamos calcular o erro relativo.
A fórmula para o erro relativo é:
Substituindo os valores:

Resposta

Aproximadamente 4,72426 % de erro relativo é cometido na aproximação feita.
Alternativa (d) 4,72426 %

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