Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
b) Determine f(-13)
c|cccc x & -0.75 & -0.5 & -0.25 & 0 hline f(x) & -0.0718125 & -0.2475 & 0.3349 & 1.101

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de interpolação polinomial de Lagrange de grau 3. Isso significa que a gente vai usar quatro pontos para construir um polinômio que passe por todos eles. O objetivo é usar esse polinômio para estimar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
c|cccc x & -0,75 & -0,5 & -0,25 & 0 hline f(x) & -0,0718125 & -0,2475 & 0,3349 & 1,101
Então, nossos pontos são:
(x0, f(x0)) = (-0,75, -0,0718125)
(x1, f(x1)) = (-0,5, -0,2475)
(x2, f(x2)) = (-0,25, 0,3349)
(x3, f(x3)) = (0, 1,101)

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o polinômio de Lagrange. Para um polinômio de grau 3, ele é dado por:
P(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x)
Onde cada Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj é a base de Lagrange e é calculada assim:
Isso significa que para cada , a gente multiplica frações que envolvem as diferenças entre e os outros pontos.

Passo 4

Vamos calcular cada L0(-13) = (-13 - (-0,5))(-13 - (-0,25))(-13 - 0)(-0,75 - (-0,5))(-0,75 - (-0,25))(-0,75 - 0) :
Primeiro, para L0(-13) = (16)(-112)(-13)(-0,25)(-0,5)(-0,75) = (16 times -112 times -13)(-0,25 times -0,5 times -0,75) = 1216-0,09375 = -1216 times 0,09375 = -120,25 approx -0,04938 :
L1(-13) = (-13 - (-0,75))(-13 - (-0,25))(-13 - 0)(-0,5 - (-0,75))(-0,5 - (-0,25))(-0,5 - 0)
Calculando os valores:
= (512)-112(-13)(0,25)(-0,25)(-0,5) = -54320,03125 approx -0,0463
Fazemos o mesmo para L2(-13) = (-13 - (-0,75))(-13 - (-0,5)(-13 - 0)(-0,25 - (-0,75))(-0,25 - (-0,5)(-0,25 - 0) , = (512)(16)(-13)(0,5)(0,25)(-0,25) = -5216-0,03125 approx 0,64 e L3(-13) = (-13 - (-0,75))(-13 - (-0,5)(-13 - (-0,25)(0 - (-0,75))(0 - (-0,5)(0 - (-0,25) :
= (512)(16)(-112)(0,75)(0,5)(0,25) = -58640,09375 approx -0,0625

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio P(-13) = f(x0)L0(-13) + f(x1)L1(-13) + f(x2)L2(-13) + f(x3)L3(-13) usando os P(-13) = (-0,0718125) times (-0,04938) + (-0,2475) times (-0,0463) + (0,3349) times (0,64) + (1,101) times (-0,0625) que calculamos e os valores de = 0,00355 + 0,01145 + 0,21434 - 0,06881 :
= 0,16053
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:

Resposta

O valor aproximado de é 0{,}1605.

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