Dada as seguintes funções, , utilize interpolação de Newton para aproximar no seguintes pontos , e e determine o erro percentual.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar Interpolação de Newton para aproximar o valor de da função . Pra isso, vamos precisar dos pontos , e . A Interpolação de Newton ajuda a achar um polinômio que passa por esses pontos e usar ele pra estimar valores entre eles. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores de nos pontos dados:
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A Interpolação de Newton usa essas diferenças para construir o polinômio.
Primeiro, organizamos os pontos:
Calculamos as diferenças divididas:
Passo 4
Com as diferenças divididas, podemos escrever o polinômio de Newton:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar :
Passo 6
Vamos calcular o valor exato de :
Perceba que o valor obtido pelo polinômio de Newton é exatamente o mesmo que o valor exato da função. Então, o erro percentual é:
Resposta
A aproximação de usando a Interpolação de Newton é e o erro percentual é .