Dada as seguintes funções, f(x), utilize interpolação de Newton para aproximar f(1.4) no seguintes pontos x0=1, x1=1.25, e x=1.6 e determine o erro percentual.
d) f(x)=e^2 x-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar Interpolação de Newton para aproximar o valor de da função . Pra isso, vamos precisar dos pontos , e . A Interpolação de Newton ajuda a achar um polinômio que passa por esses pontos e usar ele pra estimar valores entre eles. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores de f(1) = e^2 cdot 1 - 1 = e^2 - 1 nos pontos dados:
f(1.25) = e^2 cdot 1.25 - 1.25 = 1.25(e^2 - 1)
f(1.6) = e^2 cdot 1.6 - 1.6 = 1.6(e^2 - 1)

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A Interpolação de Newton usa essas diferenças para construir o polinômio.
Primeiro, organizamos os pontos:
c|c x & f(x) hline 1 & e^2 - 1 1.25 & 1.25(e^2 - 1) 1.6 & 1.6(e^2 - 1)
Calculamos as diferenças divididas:
f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 1.25(e^2 - 1) - (e^2 - 1)0.25 = 0.25(e^2 - 1)0.25 = e^2 - 1
f[x1, x2] = f(x2) - f(x1)x2 - x1 = 1.6(e^2 - 1) - 1.25(e^2 - 1)0.35 = 0.35(e^2 - 1)0.35 = e^2 - 1
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = (e^2 - 1) - (e^2 - 1)0.6 - 1 = 0

Passo 4

Com as diferenças divididas, podemos escrever o polinômio de Newton:
P(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0)
Substituindo os valores:
P(x) = (e^2 - 1) + (e^2 - 1)(x - 1)

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar P(1.4) = (e^2 - 1) + (e^2 - 1)(1.4 - 1) = (e^2 - 1)(1 + 0.4) = 1.4(e^2 - 1) :

Passo 6

Vamos calcular o valor exato de f(1.4) = e^2 cdot 1.4 - 1.4 = 1.4(e^2 - 1) :
Erro Percentual = | faprox - fexatofexato | times 100% = | 1.4(e^2 - 1) - 1.4(e^2 - 1)1.4(e^2 - 1) | times 100% = 0%
Perceba que o valor obtido pelo polinômio de Newton é exatamente o mesmo que o valor exato da função. Então, o erro percentual é:

Resposta

A aproximação de usando a Interpolação de Newton é e o erro percentual é .

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