Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
c) Determine
c) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3. O que isso significa? Basicamente, a gente tem quatro pontos
e queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por esses pontos. Com esse polinômio, podemos estimar o valor de
. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula do polinômio de Lagrange e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar nossos pontos:
Como temos quatro pontos, o polinômio de Lagrange será de grau 3 e terá a forma:
onde cada
é a base de Lagrange definida por:
Passo 3
Vamos calcular cada
para
usando nossos valores de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora vamos substituir
em cada
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio
usando os valores de
e
que calculamos:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Resposta
Portanto, a aproximação de
usando a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 é aproximadamente
.