Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
c) Determine f(0.25)
c|cccc x & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 hline f(x) & 0.6205 & -0.284 & 0.006 & 0.2484

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3. O que isso significa? Basicamente, a gente tem quatro pontos (x, f(x)) e queremos encontrar um polinômio que passe exatamente por esses pontos. Com esse polinômio, podemos estimar o valor de f(0.25). Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula do polinômio de Lagrange e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar nossos pontos:
c|cccc x & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 hline f(x) & 0.6205 & -0.284 & 0.006 & 0.2484
Como temos quatro pontos, o polinômio de Lagrange será de grau 3 e terá a forma:
P3(x) = sumi=0^3 f(xi) cdot Li(x)
onde cada Li(x) é a base de Lagrange definida por:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^3 x - xjxi - xj

Passo 3

Vamos calcular cada Li(x) para i = 0, 1, 2, 3 usando nossos valores de x.
Para L0(x):
L0(x) = x - 0.20.1 - 0.2 cdot x - 0.30.1 - 0.3 cdot x - 0.40.1 - 0.4 = x - 0.2-0.1 cdot x - 0.3-0.2 cdot x - 0.4-0.3
Para L1(x):
L1(x) = x - 0.10.2 - 0.1 cdot x - 0.30.2 - 0.3 cdot x - 0.40.2 - 0.4 = x - 0.10.1 cdot x - 0.3-0.1 cdot x - 0.4-0.2
Para L2(x):
L2(x) = x - 0.10.3 - 0.1 cdot x - 0.20.3 - 0.2 cdot x - 0.40.3 - 0.4 = x - 0.10.2 cdot x - 0.20.1 cdot x - 0.4-0.1
Para L3(x):
L3(x) = x - 0.10.4 - 0.1 cdot x - 0.20.4 - 0.2 cdot x - 0.30.4 - 0.3 = x - 0.10.3 cdot x - 0.20.2 cdot x - 0.30.1

Passo 4

Agora vamos substituir x = 0.25 em cada Li(x).
Para L0(0.25):
L0(0.25) = 0.25 - 0.2-0.1 cdot 0.25 - 0.3-0.2 cdot 0.25 - 0.4-0.3 = 0.05-0.1 cdot -0.05-0.2 cdot -0.15-0.3 = (-0.5) cdot (0.25) cdot (0.5) = -0.0625
Para L1(0.25):
L1(0.25) = 0.25 - 0.10.1 cdot 0.25 - 0.3-0.1 cdot 0.25 - 0.4-0.2 = 0.150.1 cdot -0.05-0.1 cdot -0.15-0.2 = 1.5 cdot 0.5 cdot 0.75 = 0.5625
Para L2(0.25):
L2(0.25) = 0.25 - 0.10.2 cdot 0.25 - 0.20.1 cdot 0.25 - 0.4-0.1 = 0.150.2 cdot 0.050.1 cdot -0.15-0.1 = 0.75 cdot 0.5 cdot 1.5 = 0.5625
Para L3(0.25):
L3(0.25) = 0.25 - 0.10.3 cdot 0.25 - 0.20.2 cdot 0.25 - 0.30.1 = 0.150.3 cdot 0.050.2 cdot -0.050.1 = 0.5 cdot 0.25 cdot (-0.5) = -0.0625

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio P3(0.25) usando os valores de f(xi) e Li(0.25) que calculamos:
P3(0.25) = f(0.1) cdot L0(0.25) + f(0.2) cdot L1(0.25) + f(0.3) cdot L2(0.25) + f(0.4) cdot L3(0.25)
Substituindo:
P3(0.25) = 0.6205 cdot (-0.0625) + (-0.284) cdot 0.5625 + 0.006 cdot 0.5625 + 0.2484 cdot (-0.0625)
Calculando cada termo:
0.6205 cdot (-0.0625) = -0.03878
-0.284 cdot 0.5625 = -0.15975
0.006 cdot 0.5625 = 0.003375
0.2484 cdot (-0.0625) = -0.015525
Somando todos:
-0.03878 - 0.15975 + 0.003375 - 0.015525 = -0.21068

Resposta

Portanto, a aproximação de f(0.25) usando a interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 é aproximadamente -0.2107.

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