Seja a função f(x)=12 x+3 e a integração numérica no intervalo [1 ; 3], assinale a alternativa que contenha o intervalo correspondente à diferença entre os menores números de pontos do tabelamento para os métodos dos trapézios e de Simpson, de tal forma que o erro seja menor que 10^-4 para ambos os métodos.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre integrar numericamente a função no intervalo usando dois métodos: o método dos trapézios e o método de Simpson. A gente precisa descobrir a diferença entre o menor número de pontos que cada método precisa para que o erro na aproximação seja menor que . Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses métodos e como calcular o erro de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses métodos. O método dos trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios, enquanto o método de Simpson usa parábolas para fazer essa aproximação. Geralmente, o método de Simpson é mais preciso que o dos trapézios para a mesma quantidade de pontos.

Passo 3

Agora, precisamos saber como calcular o erro de cada método. Para o método dos trapézios, o erro é dado por:
ET = -(b - a)^312n^2 f''(xi)
E para o método de Simpson, o erro é:
ES = -(b - a)^5180n^4 f^(4)(xi)
Onde:
  • e são os limites do intervalo de integração.
  • é o número de subintervalos.
  • é algum ponto dentro do intervalo .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias da função f'(x) = -2(2x + 3)^2 .
Primeira derivada:
f''(x) = 8(2x + 3)^3
Segunda derivada:
f'''(x) = -48(2x + 3)^4
Terceira derivada:
f^(4)(x) = 384(2x + 3)^5
Quarta derivada:

Passo 5

Agora, encontramos os valores máximos absolutos das derivadas no intervalo max |f''(x)| = 8(2(1) + 3)^3 = 85^3 = 8125 = 0.064 :
Para max |f^(4)(x)| = 384(2(1) + 3)^5 = 3845^5 = 3843125 approx 0.123 :
Para :

Passo 6

Vamos agora substituir esses valores na fórmula dos erros e estabelecer que os erros sejam menores que (3 - 1)^312n^2 times 0.064 < 10^-4 :
Para o método dos trapézios:
812n^2 times 0.064 < 10^-4
0.51212n^2 < 10^-4
0.51212 times 10^-4 < n^2
0.5120.0012 < n^2
426.666 < n^2
n > raiz426.666 approx 20.66
(3 - 1)^5180n^4 times 0.123 < 10^-4
Como 32180n^4 times 0.123 < 10^-4 precisa ser inteiro, o menor 3.936180n^4 < 10^-4 é 21 para o método dos trapézios.
Para o método de Simpson:
3.936180 times 10^-4 < n^4
3.9360.018 < n^4
218.666 < n^4
n > raiz[4]218.666 approx 3.69
Como precisa ser par (para Simpson) e inteiro, o menor é 4 para o método de Simpson.

Passo 7

Agora, vamos calcular a diferença entre os menores números de pontos necessários para cada método:
ntrapézios - nSimpson = 21 - 4 = 17 é

Resposta

A diferença entre os menores números de pontos necessários para os métodos dos trapézios e de Simpson é de 17 pontos.

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