Seja a função
e a integração numérica no intervalo
, assinale a alternativa que contenha o intervalo correspondente à diferença entre os menores números de pontos do tabelamento para os métodos dos trapézios e de Simpson, de tal forma que o erro seja menor que
para ambos os métodos.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre integrar numericamente a função
no intervalo
usando dois métodos: o método dos trapézios e o método de Simpson. A gente precisa descobrir a diferença entre o menor número de pontos que cada método precisa para que o erro na aproximação seja menor que
. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses métodos e como calcular o erro de cada um.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são esses métodos. O método dos trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios, enquanto o método de Simpson usa parábolas para fazer essa aproximação. Geralmente, o método de Simpson é mais preciso que o dos trapézios para a mesma quantidade de pontos.
Passo 3
Agora, precisamos saber como calcular o erro de cada método. Para o método dos trapézios, o erro é dado por:
E para o método de Simpson, o erro é:
Onde:
-
e são os limites do intervalo de integração. -
é o número de subintervalos. -
é algum ponto dentro do intervalo .
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias da função
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 5
Agora, encontramos os valores máximos absolutos das derivadas no intervalo
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos agora substituir esses valores na fórmula dos erros e estabelecer que os erros sejam menores que
:
Para o método dos trapézios:
Como
precisa ser inteiro, o menor
é 21 para o método dos trapézios.
Para o método de Simpson:
Como
precisa ser par (para Simpson) e inteiro, o menor
é 4 para o método de Simpson.
Passo 7
Agora, vamos calcular a diferença entre os menores números de pontos necessários para cada método:
Resposta
A diferença entre os menores números de pontos necessários para os métodos dos trapézios e de Simpson é de 17 pontos.