Use o método de Euler simples para obter uma aproximação numérica da solução do sistema de EDOs a seguir. Considere , usando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método de Euler simples para encontrar uma aproximação numérica da solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). O sistema dado é:
l y'' + x y' + y^2 = sin(x) y(0) = 1 y'(0) = 1
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de segunda ordem, então vamos transformá-las em um sistema de primeira ordem para aplicar o método de Euler. Vamos precisar dividir o intervalo x in [0; 0.5] em passos de h = 0.1.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Vamos definir:
y1 = y y2 = y'
Com isso, nossas equações ficam:
y1' = y2 y2' = sin(x) - x y2 - y1^2
Agora, nosso sistema é:
y1' = y2 y2' = sin(x) - x y2 - y1^2
As condições iniciais são y1(0) = 1 e y2(0) = 1.
Passo 3
Vamos aplicar o método de Euler para cada passo. A fórmula geral do método de Euler para sistemas é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde f(xn, yn) é a derivada no ponto atual. No nosso caso, temos duas equações:
Vamos aplicar isso passo a passo, começando de y1n+1 = y1n + h cdot y2n y2n+1 = y2n + h cdot [sin(xn) - xn y2n - y1n^2] até x = 0 com x = 0.5.