Use o método de Euler simples para obter uma aproximação numérica da solução do sistema de EDOs a seguir. Considere , usando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método de Euler simples para encontrar uma aproximação numérica da solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). O sistema dado é:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de segunda ordem, então vamos transformá-las em um sistema de primeira ordem para aplicar o método de Euler. Vamos precisar dividir o intervalo em passos de .
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Vamos definir:
Com isso, nossas equações ficam:
Agora, nosso sistema é:
As condições iniciais são e .
Passo 3
Vamos aplicar o método de Euler para cada passo. A fórmula geral do método de Euler para sistemas é:
Onde é a derivada no ponto atual. No nosso caso, temos duas equações:
Vamos aplicar isso passo a passo, começando de até com .
Passo 4
Passo 1: , ,
Calculando para :
Passo 5
Passo 2: , ,
Calculando para :
Calculando os termos:
Então:
Arredondando,
Passo 6
Passo 3: , ,
Calculando para :
Calculando os termos:
Então:
Arredondando,
Passo 7
Passo 4: , ,
Calculando para :
Calculando os termos:
Então:
Arredondando,
Passo 8
Passo 5: , ,
Calculando para :
Calculando os termos:
Então:
Arredondando,
Resposta
Após aplicar o método de Euler simples com no intervalo , a aproximação numérica da solução é .