Use o método de Euler simples para obter uma aproximação numérica da solução do sistema de EDOs a seguir. Considere x in[0 ; 0.5], usando h=0.1.
l y^prime prime+x y^prime+y^2=sen(x) y(0)=1 y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método de Euler simples para encontrar uma aproximação numérica da solução de um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs). O sistema dado é:
l y'' + x y' + y^2 = sin(x) y(0) = 1 y'(0) = 1
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de segunda ordem, então vamos transformá-las em um sistema de primeira ordem para aplicar o método de Euler. Vamos precisar dividir o intervalo x in [0; 0.5] em passos de h = 0.1.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Vamos definir:
y1 = y y2 = y'
Com isso, nossas equações ficam:
y1' = y2 y2' = sin(x) - x y2 - y1^2
Agora, nosso sistema é:
y1' = y2 y2' = sin(x) - x y2 - y1^2
As condições iniciais são y1(0) = 1 e y2(0) = 1.

Passo 3

Vamos aplicar o método de Euler para cada passo. A fórmula geral do método de Euler para sistemas é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde f(xn, yn) é a derivada no ponto atual. No nosso caso, temos duas equações:
Vamos aplicar isso passo a passo, começando de y1n+1 = y1n + h cdot y2n y2n+1 = y2n + h cdot [sin(xn) - xn y2n - y1n^2] até x = 0 com x = 0.5.

Passo 4

Passo 1: x0 = 0, y10 = 1, y20 = 1
Calculando para x1 = x0 + h = 0.1:
y11 = y10 + h cdot y20 = 1 + 0.1 cdot 1 = 1.1 y21 = y20 + h cdot [sin(0) - 0 cdot 1 - 1^2] = 1 + 0.1 cdot [0 - 0 - 1] = 1 - 0.1 = 0.9

Passo 5

Passo 2: x1 = 0.1, y11 = 1.1, y21 = 0.9
Calculando para x2 = 0.2:
y12 = y11 + h cdot y21 = 1.1 + 0.1 cdot 0.9 = 1.1 + 0.09 = 1.19 y22 = y21 + h cdot [sin(0.1) - 0.1 cdot 0.9 - (1.1)^2]
Calculando os termos:
sin(0.1) approx 0.09983 0.1 cdot 0.9 = 0.09 (1.1)^2 = 1.21
Então:
y22 = 0.9 + 0.1 cdot [0.09983 - 0.09 - 1.21] = 0.9 + 0.1 cdot (-1.20017) = 0.9 - 0.120017 = 0.779983
Arredondando, y22 approx 0.78

Passo 6

Passo 3: x2 = 0.2, y12 = 1.19, y22 = 0.78
Calculando para x3 = 0.3:
y13 = y12 + h cdot y22 = 1.19 + 0.1 cdot 0.78 = 1.19 + 0.078 = 1.268 y23 = y22 + h cdot [sin(0.2) - 0.2 cdot 0.78 - (1.19)^2]
Calculando os termos:
sin(0.2) approx 0.19867 0.2 cdot 0.78 = 0.156 (1.19)^2 approx 1.4161
Então:
y23 = 0.78 + 0.1 cdot [0.19867 - 0.156 - 1.4161] = 0.78 + 0.1 cdot (-1.37343) = 0.78 - 0.137343 = 0.642657
Arredondando, y23 approx 0.643

Passo 7

Passo 4: x3 = 0.3, y13 = 1.268, y23 = 0.643
Calculando para x4 = 0.4:
y14 = y13 + h cdot y23 = 1.268 + 0.1 cdot 0.643 = 1.268 + 0.0643 = 1.3323 y24 = y23 + h cdot [sin(0.3) - 0.3 cdot 0.643 - (1.268)^2]
Calculando os termos:
sin(0.3) approx 0.29552 0.3 cdot 0.643 approx 0.1929 (1.268)^2 approx 1.6082
Então:
y24 = 0.643 + 0.1 cdot [0.29552 - 0.1929 - 1.6082] = 0.643 + 0.1 cdot (-1.50558) = 0.643 - 0.150558 = 0.492442
Arredondando, y24 approx 0.492

Passo 8

Passo 5: x4 = 0.4, y14 = 1.3323, y24 = 0.492
Calculando para x5 = 0.5:
y15 = y14 + h cdot y24 = 1.3323 + 0.1 cdot 0.492 = 1.3323 + 0.0492 = 1.3815 y25 = y24 + h cdot [sin(0.4) - 0.4 cdot 0.492 - (1.3323)^2]
Calculando os termos:
sin(0.4) approx 0.38942 0.4 cdot 0.492 approx 0.1968 (1.3323)^2 approx 1.7747
Então:
y25 = 0.492 + 0.1 cdot [0.38942 - 0.1968 - 1.7747] = 0.492 + 0.1 cdot (-1.58208) = 0.492 - 0.158208 = 0.333792
Arredondando, y25 approx 0.334

Resposta

Após aplicar o método de Euler simples com h = 0.1 no intervalo [0; 0.5], a aproximação numérica da solução é y(0.5) approx 1.3815.

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