Dado o seguinte PVI:
1.- Resolva o PVI usando o método de Euler.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais e . Vamos resolver esse PVI usando o Método de Euler. Para isso, precisamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 2

Vamos definir duas novas variáveis para simplificar a equação:
  • Seja
  • Seja
Com isso, podemos reescrever as derivadas:
Agora, temos um sistema de duas equações de primeira ordem.

Passo 3

O Método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula básica do Método de Euler para uma equação é:
onde é o tamanho do passo, é a aproximação em , e é a aproximação no próximo passo.

Passo 4

Aplicando o Método de Euler ao nosso sistema, temos:
Isso significa que a cada passo, atualizamos e usando essas fórmulas.

Passo 5

Precisamos escolher um tamanho de passo e o número de passos para realizar a aproximação. Por exemplo, se quisermos aproximar a solução no próximo ponto , usamos as fórmulas acima com :
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 6

Para obter uma aproximação mais precisa, continuaríamos iterando o processo para etc., usando os valores calculados anteriormente. Cada passo fornece uma aproximação melhor da solução no ponto correspondente.

Resposta

Usando o Método de Euler, a aproximação da solução do PVI no próximo ponto é e . Para obter mais precisão, repetiríamos os cálculos para passos subsequentes.

Exercícios relacionados

Dado o seguinte PVI:
4.- Estime o erro relativo percentual, sabendo que a solução analítica deste problema é . Considere 3 casas decimais e arredondamento padrão.
(a)
(b)
©
(d)
(e) Não sei
Utilize interpolação polinomial de Lagrange de grau 3 para aproximar os seguintes pontos:
a) Determine
8.1 8.3 8.4 8.6
16.9441 17.56492 17.8771 18.50515
Dada as seguintes funções, , utilize interpolação de Newton para aproximar no seguintes pontos , e e determine o erro percentual.
a)