Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais e . Vamos resolver esse PVI usando o Método de Euler. Para isso, precisamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.
Passo 2
Vamos definir duas novas variáveis para simplificar a equação:
Seja
Seja
Com isso, podemos reescrever as derivadas:
Agora, temos um sistema de duas equações de primeira ordem.
Passo 3
O Método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula básica do Método de Euler para uma equação é:
onde é o tamanho do passo, é a aproximação em , e é a aproximação no próximo passo.
Passo 4
Aplicando o Método de Euler ao nosso sistema, temos:
Isso significa que a cada passo, atualizamos e usando essas fórmulas.
Passo 5
Precisamos escolher um tamanho de passo e o número de passos para realizar a aproximação. Por exemplo, se quisermos aproximar a solução no próximo ponto , usamos as fórmulas acima com :
Substituindo as condições iniciais e :
Passo 6
Para obter uma aproximação mais precisa, continuaríamos iterando o processo para etc., usando os valores calculados anteriormente. Cada passo fornece uma aproximação melhor da solução no ponto correspondente.
Resposta
Usando o Método de Euler, a aproximação da solução do PVI no próximo ponto é e . Para obter mais precisão, repetiríamos os cálculos para passos subsequentes.