Dado o seguinte PVI:
l y^prime prime=3 y^prime-2 y y(0)=-1 y^prime(0)=0
1.- Resolva o PVI usando o método de Euler.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais e . Vamos resolver esse PVI usando o Método de Euler. Para isso, precisamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 2

Vamos definir duas novas variáveis para simplificar a equação:
  • Seja
  • Seja
Com isso, podemos reescrever as derivadas:
Agora, temos um sistema de duas equações de primeira ordem.

Passo 3

O Método de Euler é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula básica do Método de Euler para uma equação yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn) é:
onde é o tamanho do passo, é a aproximação em , e é a aproximação no próximo passo.

Passo 4

Aplicando o Método de Euler ao nosso sistema, temos:
Isso significa que a cada passo, atualizamos y1n+1 = y1n + h cdot y2n y2n+1 = y2n + h cdot (3y2n - 2y1n) e usando essas fórmulas.

Passo 5

Precisamos escolher um tamanho de passo y1(h) = y1(0) + h cdot y2(0) y2(h) = y2(0) + h cdot (3y2(0) - 2y1(0)) e o número de passos para realizar a aproximação. Por exemplo, se quisermos aproximar a solução no próximo ponto y1(h) = -1 + h cdot 0 = -1 y2(h) = 0 + h cdot (3 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 0 + h cdot 2 = 2h , usamos as fórmulas acima com :
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 6

Para obter uma aproximação mais precisa, continuaríamos iterando o processo para etc., usando os valores calculados anteriormente. Cada passo fornece uma aproximação melhor da solução no ponto correspondente.

Resposta

Usando o Método de Euler, a aproximação da solução do PVI no próximo ponto é e . Para obter mais precisão, repetiríamos os cálculos para passos subsequentes.

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