Suspeita-se que a tabela:
-3.0 -9.0
-2.0 0.0
-1.0 1.0
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma tabela com alguns valores de e . A suspeita é que esses pontos representem um polinômio cúbico, que é uma função do tipo . Nosso objetivo é testar se realmente esses pontos se encaixam nessa forma. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e como verificar se um conjunto de pontos corresponde a um polinômio de terceiro grau.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio cúbico tem quatro coeficientes desconhecidos: , , e . Para descobrir esses valores, precisamos de quatro equações, ou seja, quatro pares de e . Vamos escolher quatro pontos da tabela para montar essas equações.

Passo 3

Vamos pegar os pontos onde , , e . Substituindo esses valores na equação , teremos:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 4

Da quarta equação, já sabemos que . Vamos substituir nas outras três equações:

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , , ). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da terceira equação: → podemos isolar uma variável, por exemplo, , e substituir nas outras equações.

Passo 6

Substituindo na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Podemos reescrever como:
→ dividindo por 2:

Passo 7

Agora, substituímos e na primeira equação:
Primeiro, substituímos :
Simplificando dentro dos parênteses:
Agora:
Expandindo:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Com , podemos encontrar :
E então, encontrar :

Passo 9

Agora que temos os coeficientes , , e , nossa equação do polinômio cúbico fica:

Passo 10

Para confirmar que esse polinômio realmente passa por todos os pontos da tabela, vamos substituir os valores de e verificar se obtemos os valores correspondentes de :
  • Para : ✔️
  • Para : ✔️

Resposta

Sim, os pontos da tabela representam um polinômio cúbico dado por .

Exercícios relacionados

Desejamos aproximar o valor de por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de nos pontos e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,
(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).
Dada a tabela:
0.0 1.0000
0.1 1.3499
0.2 1.8221
0.3 2.4596
0.4 3.3201
0.5 4.4817
Calcule , onde usando polinômio de interpolação do grau.
A função
é dada pela seguinte tabela:
0
0.01 4.0379
0.02 3.3547
0.03 2.9591
0.04 2.6813
0.05 2.4679
0.06 2.2953
Através da fórmula de Newton, calcule para usando parábola e parábola cúbica.