Suspeita-se que a tabela:
|
|
---|---|
-3.0 | -9.0 |
-2.0 | 0.0 |
-1.0 | 1.0 |
0.0 | 0.0 |
1.0 | 3.0 |
2.0 | 16.0 |
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma tabela com alguns valores de
e
. A suspeita é que esses pontos representem um polinômio cúbico, que é uma função do tipo
. Nosso objetivo é testar se realmente esses pontos se encaixam nessa forma. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e como verificar se um conjunto de pontos corresponde a um polinômio de terceiro grau.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio cúbico tem quatro coeficientes desconhecidos:
,
,
e
. Para descobrir esses valores, precisamos de quatro equações, ou seja, quatro pares de
e
. Vamos escolher quatro pontos da tabela para montar essas equações.
Passo 3
Vamos pegar os pontos onde
,
,
e
. Substituindo esses valores na equação
, teremos:
- Para
: → - Para
: → - Para
: → - Para
: →
Passo 4
Da quarta equação, já sabemos que
. Vamos substituir
nas outras três equações:
Passo 5
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (
,
,
). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da terceira equação:
→ podemos isolar uma variável, por exemplo,
, e substituir nas outras equações.
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Expandindo:
Simplificando:
Podemos reescrever como:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na primeira equação:
Primeiro, substituímos
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Agora:
Expandindo:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Com
, podemos encontrar
:
E então, encontrar
:
Passo 9
Agora que temos os coeficientes
,
,
e
, nossa equação do polinômio cúbico fica:
Passo 10
Para confirmar que esse polinômio realmente passa por todos os pontos da tabela, vamos substituir os valores de
e verificar se obtemos os valores correspondentes de
:
- Para
: ✔️ - Para
: ✔️
Resposta
Sim, os pontos da tabela representam um polinômio cúbico dado por
.
Exercícios relacionados
Desejamos aproximar o valor de
por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de
nos pontos
e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
(b) Delimite o erro
para
no intervalo
, sendo
o polinômio obtido no item (a).
Dada a tabela:
|
|
---|---|
0.0 | 1.0000 |
0.1 | 1.3499 |
0.2 | 1.8221 |
0.3 | 2.4596 |
0.4 | 3.3201 |
0.5 | 4.4817 |
Calcule
, onde
usando polinômio de interpolação do
grau.
A função
é dada pela seguinte tabela:
|
|
---|---|
0 |
|
0.01 | 4.0379 |
0.02 | 3.3547 |
0.03 | 2.9591 |
0.04 | 2.6813 |
0.05 | 2.4679 |
0.06 | 2.2953 |
Através da fórmula de Newton, calcule
para
usando parábola e parábola cúbica.