Desejamos aproximar o valor de por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de nos pontos e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é aproximar o valor de usando interpolação polinomial. Para isso, vamos utilizar os valores conhecidos de nos pontos e . Nosso objetivo é construir um polinômio que passe por esses pontos e, em seguida, usar esse polinômio para estimar o valor que queremos. Vamos precisar entender de interpolação polinomial e diferenças divididas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Esses são os nossos dados de referência para construir o polinômio interpolador.

Passo 3

Agora, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador. Esse método nos ajuda a construir o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças entre os valores de .
Primeiro, criamos uma tabela de diferenças divididas:
Vamos calcular cada coluna passo a passo.

Passo 4

Calculando as diferenças divididas:
  1. Primeira diferença dividida ( ):
Para e :
Para e :
Para e :
  1. Segunda diferença dividida ( ):
Entre , , :
Entre , , :
  1. Terceira diferença dividida ( ):

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral do polinômio é:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos o polinômio interpolador, podemos usá-lo para aproximar . Basta substituir no polinômio :
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Agora, somando tudo:

Resposta

Aproximadamente, .

Exercícios relacionados

(b) Delimite o erro para no intervalo , sendo o polinômio obtido no item (a).
Dados:
0.1 0.905
0.2 0.819
0.4 0.670
0.6 0.549
0.8 0.449
1.0 0.210
1.2 0.320
1.4 0.480
1.7 0.560
1.8 0.780
0.9 0.407
Calcule o valor aproximado de tal que , usando polinômio interpolador de grau 2 .
Suspeita-se que a tabela:
-3.0 -9.0
-2.0 0.0
-1.0 1.0
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 16.0
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Dada a tabela:
0.0 1.0000
0.1 1.3499
0.2 1.8221
0.3 2.4596
0.4 3.3201
0.5 4.4817
Calcule , onde usando polinômio de interpolação do grau.