Desejamos aproximar o valor de log 2(5 / 2) por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de log 2(x) nos pontos x=1,2,4 e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de log 2(x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é aproximar o valor de log2(52) usando interpolação polinomial. Para isso, vamos utilizar os valores conhecidos de log2(x) nos pontos x = 1, 2, 4 e 8. Nosso objetivo é construir um polinômio que passe por esses pontos e, em seguida, usar esse polinômio para estimar o valor que queremos. Vamos precisar entender de interpolação polinomial e diferenças divididas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
c|c x & log2(x) hline 1 & log2(1) = 0 2 & log2(2) = 1 4 & log2(4) = 2 8 & log2(8) = 3
Esses são os nossos dados de referência para construir o polinômio interpolador.

Passo 3

Agora, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador. Esse método nos ajuda a construir o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças entre os valores de log2(x).
Primeiro, criamos uma tabela de diferenças divididas:
c|c|c|c|c x & f[x] & f[x0, x1] & f[x0, x1, x2] & f[x0, x1, x2, x3] hline 1 & 0 & & & 2 & 1 & 1 - 02 - 1 = 1 & & 4 & 2 & 2 - 14 - 2 = 12 & 12 - 14 - 1 = -16 & 8 & 3 & 3 - 28 - 4 = 14 & 14 - 128 - 2 = -112 & -112 - (-16)8 - 1 = 184
Vamos calcular cada coluna passo a passo.

Passo 4

Calculando as diferenças divididas:
  1. Primeira diferença dividida ( f[x0, x1]):
f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0
Para x = 1 e x = 2:
f[1, 2] = 1 - 02 - 1 = 1
Para x = 2 e x = 4:
f[2, 4] = 2 - 14 - 2 = 12
Para x = 4 e x = 8:
f[4, 8] = 3 - 28 - 4 = 14
  1. Segunda diferença dividida ( f[x0, x1, x2]):
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0
Entre x = 1, 2, 4:
f[1, 2, 4] = 12 - 14 - 1 = -16
Entre x = 2, 4, 8:
f[2, 4, 8] = 14 - 128 - 2 = -112
  1. Terceira diferença dividida ( f[x0, x1, x2, x3]):
f[1, 2, 4, 8] = f[2, 4, 8] - f[1, 2, 4]8 - 1 = -112 - (-16)7 = 184

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral do polinômio é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores:
P(x) = 0 + 1(x - 1) + (-16)(x - 1)(x - 2) + 184(x - 1)(x - 2)(x - 4)
Simplificando:
P(x) = (x - 1) - 16(x - 1)(x - 2) + 184(x - 1)(x - 2)(x - 4)

Passo 6

Agora que temos o polinômio interpolador, podemos usá-lo para aproximar log2(52). Basta substituir x = 52 no polinômio P(x):
P(52) = (52 - 1) - 16(52 - 1)(52 - 2) + 184(52 - 1)(52 - 2)(52 - 4)
Calculando passo a passo:
52 - 1 = 32
52 - 2 = 12
52 - 4 = -32
Substituindo:
P(52) = 32 - 16 times 32 times 12 + 184 times 32 times 12 times (-32)
Calculando cada termo:
32 = 1.5
16 times 32 times 12 = 16 times 34 = 324 = 0.125
184 times 32 times 12 times (-32) = 184 times 98 = 9672 approx 0.01339
Agora, somando tudo:
P(52) = 1.5 - 0.125 + 0.01339 approx 1.38839

Resposta

Aproximadamente, log2(52) approx 1.388.

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