Desejamos aproximar o valor de
por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de
nos pontos
e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é aproximar o valor de
usando interpolação polinomial. Para isso, vamos utilizar os valores conhecidos de
nos pontos
e
. Nosso objetivo é construir um polinômio que passe por esses pontos e, em seguida, usar esse polinômio para estimar o valor que queremos. Vamos precisar entender de interpolação polinomial e diferenças divididas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Esses são os nossos dados de referência para construir o polinômio interpolador.
Passo 3
Agora, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador. Esse método nos ajuda a construir o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças entre os valores de
.
Primeiro, criamos uma tabela de diferenças divididas:
Vamos calcular cada coluna passo a passo.
Passo 4
Calculando as diferenças divididas:
- Primeira diferença dividida (
):
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
- Segunda diferença dividida (
):
Entre
,
,
:
Entre
,
,
:
- Terceira diferença dividida (
):
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral do polinômio é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos o polinômio interpolador, podemos usá-lo para aproximar
. Basta substituir
no polinômio
:
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Agora, somando tudo:
Resposta
Aproximadamente,
.
Exercícios relacionados
(b) Delimite o erro
para
no intervalo
, sendo
o polinômio obtido no item (a).
Dados:
|
|
---|---|
0.1 | 0.905 |
0.2 | 0.819 |
0.4 | 0.670 |
0.6 | 0.549 |
0.8 | 0.449 |
1.0 | 0.210 |
1.2 | 0.320 |
1.4 | 0.480 |
1.7 | 0.560 |
1.8 | 0.780 |
0.9 | 0.407 |
Calcule o valor aproximado de
tal que
, usando polinômio interpolador de grau 2 .
Suspeita-se que a tabela:
|
|
---|---|
-3.0 | -9.0 |
-2.0 | 0.0 |
-1.0 | 1.0 |
0.0 | 0.0 |
1.0 | 3.0 |
2.0 | 16.0 |
represente um polinômio cúbico. Como testar esse fato? Explique.
Dada a tabela:
|
|
---|---|
0.0 | 1.0000 |
0.1 | 1.3499 |
0.2 | 1.8221 |
0.3 | 2.4596 |
0.4 | 3.3201 |
0.5 | 4.4817 |
Calcule
, onde
usando polinômio de interpolação do
grau.