Desejamos aproximar o valor de
por meio de uma interpolação polinomial, usando para tal os valores conhecidos de
nos pontos
e 8 . Usando diferenças divididas, calcule os polinômios interpoladores de
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é aproximar o valor de
usando interpolação polinomial. Para isso, vamos utilizar os valores conhecidos de
nos pontos
e
. Nosso objetivo é construir um polinômio que passe por esses pontos e, em seguida, usar esse polinômio para estimar o valor que queremos. Vamos precisar entender de interpolação polinomial e diferenças divididas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Esses são os nossos dados de referência para construir o polinômio interpolador.
Passo 3
Agora, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador. Esse método nos ajuda a construir o polinômio de forma incremental, calculando as diferenças entre os valores de
.
Primeiro, criamos uma tabela de diferenças divididas:
Vamos calcular cada coluna passo a passo.
Passo 4
Calculando as diferenças divididas:
- Primeira diferença dividida (
):
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
- Segunda diferença dividida (
):
Entre
,
,
:
Entre
,
,
:
- Terceira diferença dividida (
):
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A forma geral do polinômio é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos o polinômio interpolador, podemos usá-lo para aproximar
. Basta substituir
no polinômio
:
Calculando passo a passo:
Substituindo:
Calculando cada termo:
Agora, somando tudo:
Resposta
Aproximadamente,
.