Dada a tabela abaixo,
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
e^x 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule e^3.1 usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e e precisa calcular usando um polinômio de interpolação com quatro pontos. Isso significa que vamos usar quatro valores conhecidos de e próximos de 3.1 para estimar o valor que a gente quer encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os quatro pontos da tabela que estão mais próximos de . Olhando a tabela, os valores mais próximos são:
  • com
  • com
  • com
  • com

Passo 3

Agora, vamos usar a Interpolação de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por todos esses pontos escolhidos. A fórmula do polinômio de Lagrange P(x) = sumi=0^n yi cdot elli(x) é:
elli(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
onde são os polinômios de Lagrange definidos por:
Nesse caso, porque estamos usando quatro pontos.

Passo 4

Vamos calcular cada ell0(x) = (x - 3.0)(x - 3.2)(x - 3.4)(2.8 - 3.0)(2.8 - 3.2)(2.8 - 3.4) = (x - 3.0)(x - 3.2)(x - 3.4)(-0.2)(-0.4)(-0.6) = (x - 3.0)(x - 3.2)(x - 3.4)-0.048 para os nossos pontos:
  1. Para ell1(x) = (x - 2.8)(x - 3.2)(x - 3.4)(3.0 - 2.8)(3.0 - 3.2)(3.0 - 3.4) = (x - 2.8)(x - 3.2)(x - 3.4)(0.2)(-0.2)(-0.4) = (x - 2.8)(x - 3.2)(x - 3.4)0.016 ( ell2(x) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.4)(3.2 - 2.8)(3.2 - 3.0)(3.2 - 3.4) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.4)(0.4)(0.2)(-0.2) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.4)-0.016 )
ell3(x) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.2)(3.4 - 2.8)(3.4 - 3.0)(3.4 - 3.2) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.2)(0.6)(0.4)(0.2) = (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.2)0.048
  1. Para ( )
  1. Para ( )
  1. Para ( )

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio P(x) = 16.44 cdot ell0(x) + 20.08 cdot ell1(x) + 24.53 cdot ell2(x) + 29.96 cdot ell3(x) substituindo os valores de P(x) = 16.44 cdot (x - 3.0)(x - 3.2)(x - 3.4)-0.048 + 20.08 cdot (x - 2.8)(x - 3.2)(x - 3.4)0.016 + 24.53 cdot (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.4)-0.016 + 29.96 cdot (x - 2.8)(x - 3.0)(x - 3.2)0.048 (que são ):
Substituindo as expressões de :

Passo 6

Vamos calcular (x - 3.0) = 0.1, (x - 3.2) = -0.1, (x - 3.4) = -0.3, (x - 2.8) = 0.3 . Primeiro, substituímos 16.44 cdot (0.1)(-0.1)(-0.3)-0.048 = 16.44 cdot 0.003-0.048 = 16.44 cdot (-0.0625) = -1.0275 nas expressões:
  1. Calcular cada termo:
20.08 cdot (0.3)(-0.1)(-0.3)0.016 = 20.08 cdot 0.0090.016 = 20.08 cdot 0.5625 = 11.295
  1. Substituir nos termos:
  • Primeiro termo:
24.53 cdot (0.3)(0.1)(-0.3)-0.016 = 24.53 cdot -0.009-0.016 = 24.53 cdot 0.5625 = 13.808
  • Segundo termo:
29.96 cdot (0.3)(0.1)(-0.1)0.048 = 29.96 cdot -0.0030.048 = 29.96 cdot (-0.0625) = -1.8725
  • Terceiro termo:
P(3.1) = -1.0275 + 11.295 + 13.808 - 1.8725 = 21.203
  • Quarto termo:
  1. Somar todos os termos:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de usando um polinômio de interpolação de quatro pontos é 21.203.

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