Dada a tabela abaixo,
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e e precisa calcular usando um polinômio de interpolação com quatro pontos. Isso significa que vamos usar quatro valores conhecidos de e próximos de 3.1 para estimar o valor que a gente quer encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os quatro pontos da tabela que estão mais próximos de . Olhando a tabela, os valores mais próximos são:
  • com
  • com
  • com
  • com

Passo 3

Agora, vamos usar a Interpolação de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por todos esses pontos escolhidos. A fórmula do polinômio de Lagrange é:
onde são os polinômios de Lagrange definidos por:
Nesse caso, porque estamos usando quatro pontos.

Passo 4

Vamos calcular cada para os nossos pontos:
  1. Para ( )
  1. Para ( )
  1. Para ( )
  1. Para ( )

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio substituindo os valores de (que são ):
Substituindo as expressões de :

Passo 6

Vamos calcular . Primeiro, substituímos nas expressões:
  1. Calcular cada termo:
  1. Substituir nos termos:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
  • Quarto termo:
  1. Somar todos os termos:

Resposta

Portanto, o valor aproximado de usando um polinômio de interpolação de quatro pontos é 21.203.

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Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos após 4 iterações. Para este problema, também pode ser adotado pois a função não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.

Resolução:

Basta resolver a equação:
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de dado,
Seja . Verifique que é monótona e limitada . (Dica: Estude a série que gera o número de Euler ).