Dada a tabela abaixo,
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
e
e precisa calcular
usando um polinômio de interpolação com quatro pontos. Isso significa que vamos usar quatro valores conhecidos de
e
próximos de 3.1 para estimar o valor que a gente quer encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os quatro pontos da tabela que estão mais próximos de
. Olhando a tabela, os valores mais próximos são:
-
com -
com -
com -
com
Passo 3
Agora, vamos usar a Interpolação de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por todos esses pontos escolhidos. A fórmula do polinômio de Lagrange
é:
onde
são os polinômios de Lagrange definidos por:
Nesse caso,
porque estamos usando quatro pontos.
Passo 4
Vamos calcular cada
para os nossos pontos:
- Para
( )
- Para
( )
- Para
( )
- Para
( )
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio
substituindo os valores de
(que são
):
Substituindo as expressões de
:
Passo 6
Vamos calcular
. Primeiro, substituímos
nas expressões:
- Calcular cada termo:
- Substituir nos termos:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Somar todos os termos:
Resposta
Portanto, o valor aproximado de
usando um polinômio de interpolação de quatro pontos é 21.203.
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Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
A distribuição de temperatura em cada ponto
de um pedaço de arame de
está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos
após 4 iterações. Para este problema,
também pode ser adotado pois a função
não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.
Resposta:
Resolução:
Basta resolver a equação:
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de
dado,
Seja
. Verifique que
é monótona e limitada
. (Dica: Estude a série que gera o número de Euler
).