Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados usando o método de Newton para interpolação. Esse método é bem legal porque ajuda a construir o polinômio passo a passo, usando as diferenças divididas. Então, vamos precisar dos pontos fornecidos e entender um pouco sobre essas diferenças divididas para seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. Isso vai nos ajudar a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Começamos com os valores de e :
Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas:
Vamos calcular:
Atualizamos a tabela:

Passo 4

Agora, vamos para as segundas diferenças divididas:
Calculando:
Atualizamos a tabela:

Passo 5

Por fim, calculamos a terceira diferença dividida:
Calculando:
Tabela completa:

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos escrever o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Expandindo e simplificando ainda mais, obtemos:

Resposta

O polinômio que interpola os pontos dados é:

Exercícios relacionados

A distribuição de temperatura em cada ponto de um pedaço de arame de está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos após 4 iterações. Para este problema, também pode ser adotado pois a função não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.

Resolução:

Basta resolver a equação:
Isole as raízes das seguintes funções utilizando planilha eletrônica.
OBS: as respostas não precisam ser exatas, mas aproximadamente iguais.
Dada a tabela abaixo,
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
Calcule usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de dado,