Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados usando o método de Newton para interpolação. Esse método é bem legal porque ajuda a construir o polinômio passo a passo, usando as diferenças divididas. Então, vamos precisar dos pontos fornecidos e entender um pouco sobre essas diferenças divididas para seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
Passo 3
Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. Isso vai nos ajudar a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Começamos com os valores de
e
:
Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas:
Vamos calcular:
Atualizamos a tabela:
Passo 4
Agora, vamos para as segundas diferenças divididas:
Calculando:
Atualizamos a tabela:
Passo 5
Por fim, calculamos a terceira diferença dividida:
Calculando:
Tabela completa:
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, podemos escrever o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Expandindo e simplificando ainda mais, obtemos:
Resposta
O polinômio que interpola os pontos dados é:
Exercícios relacionados
A distribuição de temperatura em cada ponto
de um pedaço de arame de
está dada por:
Determine o ponto no qual a temperatura é igual a zero. Utilize o método de Newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 10 iterações.
Resposta: temos
após 4 iterações. Para este problema,
também pode ser adotado pois a função
não atende as condições de convergência mas converge para qualquer extremo do intervalo.
Resposta:
Resolução:
Basta resolver a equação:
Isole as raízes das seguintes funções utilizando planilha eletrônica.
OBS: as respostas não precisam ser exatas, mas aproximadamente iguais.
Dada a tabela abaixo,
|
2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Calcule
usando um polinômio de interpolação sobre quatro pontos.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de
dado,