Use o método de Newton para determinar o polinomio que interpola os pontos
rrrrr xk & -1 & 0 & 1 & 2 yk & 0 & 1 & 2 & 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar um polinômio que passe exatamente pelos pontos dados usando o método de Newton para interpolação. Esse método é bem legal porque ajuda a construir o polinômio passo a passo, usando as diferenças divididas. Então, vamos precisar dos pontos fornecidos e entender um pouco sobre essas diferenças divididas para seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os pontos que a gente tem:
cc xk & yk -1 & 0 0 & 1 1 & 2 2 & 7

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. Isso vai nos ajudar a encontrar os coeficientes do polinômio de Newton.
Começamos com os valores de c|c|c|c|c xk & f[xk] & f[xk,xk+1 & f[xk,xk+1,xk+2] & f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] hline -1 & 0 & & & 0 & 1 & & & 1 & 2 & & & 2 & 7 & & & e f[xk,xk+1] = f[xk+1] - f[xk]xk+1 - xk :
Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas:
f[-1,0] = 1 - 00 - (-1) = 11 = 1
Vamos calcular:
f[0,1] = 2 - 11 - 0 = 11 = 1
f[1,2] = 7 - 22 - 1 = 51 = 5
c|c|c|c|c xk & f[xk] & f[xk,xk+1 & f[xk,xk+1,xk+2] & f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] hline -1 & 0 & 1 & & 0 & 1 & 1 & & 1 & 2 & 5 & & 2 & 7 & & &
Atualizamos a tabela:

Passo 4

Agora, vamos para as segundas diferenças divididas:
f[xk,xk+1,xk+2] = f[xk+1,xk+2] - f[xk,xk+1]xk+2 - xk
Calculando:
f[-1,0,1] = 1 - 11 - (-1) = 02 = 0
f[0,1,2] = 5 - 12 - 0 = 42 = 2
Atualizamos a tabela:

Passo 5

Por fim, calculamos a terceira diferença dividida:
Calculando:
f[xk,xk+1,xk+2,xk+3] = f[xk+1,xk+2,xk+3] - f[xk,xk+1,xk+2]xk+3 - xk
Tabela completa:

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos escrever o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores:
P(x) = 0 + 1(x - (-1)) + 0(x - (-1))(x - 0) + 23(x - (-1))(x - 0)(x - 1)
Simplificando:
P(x) = x + 1 + 23(x + 1)x(x - 1)
Expandindo e simplificando ainda mais, obtemos:
P(x) = 23x^3 + 13x + 1

Resposta

O polinômio que interpola os pontos dados é:
P(x) = 23x^3 + 13x + 1

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