Para a equação e considerando o método do ponto fixo, faça uma análise da convergência, utilizando os critérios de convergência, de ambas as funções abaixo:
Passo 1
Vamos analisar a equação quadrática utilizando o método do ponto fixo. O método do ponto fixo é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações, onde reescrevemos a equação na forma . Para verificar se o método vai convergir para uma solução, usamos critérios de convergência que envolvem derivadas das funções . Neste exercício, vamos analisar duas funções e .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos fixos das funções e , ou seja, os valores de que satisfazem . Essas soluções serão as raízes da equação quadrática original.
Passo 3
Para verificar a convergência do método do ponto fixo, usamos o critério de que a derivada da função no ponto fixo deve ter valor absoluto menor que 1, ou seja, . Isso garante que as iterações se aproximem do ponto fixo.
Passo 4
Vamos analisar a função .
Primeiro, derivamos :
Agora, encontramos os pontos fixos resolvendo :
As soluções são e .
Avaliaremos a derivada em cada ponto fixo:
Para :
Para :
Ambos os valores absolutos das derivadas são maiores que 1, o que indica que o método do ponto fixo não converge para nenhuma das raízes usando .
Passo 5
Agora, vamos analisar a função .
Primeiro, derivamos :
Novamente, encontramos os pontos fixos resolvendo :
As soluções são e .
Avaliaremos a derivada em cada ponto fixo:
Para :
Para :
Ambos os valores absolutos das derivadas são menores que 1, o que indica que o método do ponto fixo converge para ambas as raízes usando .
Resposta
O método do ponto fixo não converge para nenhuma das raízes da equação quando aplicado com . No entanto, utilizando , o método do ponto fixo converge para ambas as soluções e .