Para a equação x^2+x-6=0 e considerando o método do ponto fixo, faça uma análise da convergência, utilizando os critérios de convergência, de ambas as funções abaixo:
varphi1(x)=6-x^2
varphi2(x)=raiz6-x

Passo 1

Vamos analisar a equação quadrática utilizando o método do ponto fixo. O método do ponto fixo é uma técnica iterativa para encontrar soluções de equações, onde reescrevemos a equação na forma . Para verificar se o método vai convergir para uma solução, usamos critérios de convergência que envolvem derivadas das funções . Neste exercício, vamos analisar duas funções e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos fixos das funções e , ou seja, os valores de que satisfazem . Essas soluções serão as raízes da equação quadrática original.

Passo 3

Para verificar a convergência do método do ponto fixo, usamos o critério de que a derivada da função no ponto fixo deve ter valor absoluto menor que 1, ou seja, . Isso garante que as iterações se aproximem do ponto fixo.

Passo 4

Vamos analisar a função varphi1'(x) = -2x .
Primeiro, derivamos x^2 + x - 6 = 0 :
|varphi1'(2)| = |-2 times 2| = 4 > 1
Agora, encontramos os pontos fixos resolvendo |varphi1'(-3)| = |-2 times (-3)| = 6 > 1 :
As soluções são e .
Avaliaremos a derivada em cada ponto fixo:
Para :
Para :
Ambos os valores absolutos das derivadas são maiores que 1, o que indica que o método do ponto fixo não converge para nenhuma das raízes usando .

Passo 5

Agora, vamos analisar a função varphi2'(x) = -1 2raiz6 - x .
Primeiro, derivamos x^2 + x - 6 = 0 :
|varphi2'(2)| = | -1 2raiz6 - 2 | = 14 < 1
Novamente, encontramos os pontos fixos resolvendo |varphi2'(-3)| = | -1 2raiz6 - (-3) | = 16 < 1 :
As soluções são e .
Avaliaremos a derivada em cada ponto fixo:
Para :
Para :
Ambos os valores absolutos das derivadas são menores que 1, o que indica que o método do ponto fixo converge para ambas as raízes usando .

Resposta

O método do ponto fixo não converge para nenhuma das raízes da equação quando aplicado com . No entanto, utilizando , o método do ponto fixo converge para ambas as soluções e .

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