Seja a função f(x)=ln x-x^481. Usando o método da bissecção com tol =10^-10, x0=0,5, x1=1,5 e 3 iterações, encontre uma aproximação para a raiz.
(a) 1,2500
(b) 1.0625
© 1.1250
(d) 1,0750
(e) Não sei

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar uma aproximação para a raiz da função usando o método da bissecção. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Numérico e é usado para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, vamos precisar de:
  • A função dada .
  • Um intervalo inicial onde a função muda de sinal.
  • Uma tolerância para determinar a precisão da aproximação.
  • O número de iterações, que neste caso é 3.

Passo 2

Primeiro, verificamos os valores da função nos extremos do intervalo inicial para garantir que há uma mudança de sinal, o que indica a presença de uma raiz nesse intervalo.
Calculamos:
f(0,5) = ln(0,5) - (0,5)^481 approx -0,6931 - 0,00077 approx -0,6939
f(1,5) = ln(1,5) - (1,5)^481 approx 0,4055 - 0,0625 approx 0,3430
Como e , sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo .

Passo 3

Primeira Iteração:
Calculamos o ponto médio do intervalo:
c1 = 0,5 + 1,52 = 1,0
Avaliamo a função em f(1,0) = ln(1) - 1^481 = 0 - 0,0123457 approx -0,0123457 :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 4

Segunda Iteração:
Novo intervalo: c2 = 1,0 + 1,52 = 1,25
Calculamos o ponto médio:
f(1,25) = ln(1,25) - (1,25)^481 approx 0,2231 - 0,030123 approx 0,19297
Avaliamo a função em :
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Terceira Iteração:
Novo intervalo: c3 = 1,0 + 1,252 = 1,125
Calculamos o ponto médio:
f(1,125) = ln(1,125) - (1,125)^481 approx 0,1178 - 0,01976 approx 0,0980
Avaliamo a função em :
Como , a raiz está no intervalo .

Resposta

A aproximação para a raiz após 3 iterações é 1,1250.
Portanto, a alternativa correta é:
© 1.1250

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