Seja a função f(x)=sen(5 x)-e^x / 5. Usando o método da falsa posição no intervalo [0.49, 0.56], e 3 iterações, vai ser encontrada uma aproximação da raiz:
(a) 0,56250
(b) 0,55700
© 0,55250
(d) 0,56775
(e) Não sei

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo:
Temos a função e queremos encontrar uma aproximação da raiz dessa função no intervalo [0,49; 0,56] usando o método da falsa posição, realizando 3 iterações. O método da falsa posição é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções contínuas, semelhante ao método da bisseção, mas geralmente mais eficiente. Para isso, precisamos calcular valores da função nos extremos do intervalo e iterativamente ajustar o intervalo para aproximar a raiz.

Passo 2

Primeira Iteração:
  1. Calcular f(0,49) = sin(5 times 0,49) - e^0,495 approx sin(2,45) - 1,63235 approx 0,6428 - 0,3265 approx 0,3163 nos extremos do intervalo inicial:
    • f(0,56) = sin(5 times 0,56) - e^0,565 approx sin(2,8) - 1,75075 approx 0,3347 - 0,3501 approx -0,0154
    • xr = xU - f(xU) times xL - xUf(xL) - f(xU)
    xr = 0,56 - (-0,0154) times 0,49 - 0,560,3163 - (-0,0154) approx 0,55675
    f(0,55675) approx sin(2,78375) - e^0,556755 approx 0,3472 - 0,3489 approx -0,0017
  2. Aplicar a fórmula da falsa posição para encontrar :
    Substituindo os valores:
  3. Verificar o sinal de :
    Como , substituímos por . Novo intervalo: [0,49; 0,55675]

Passo 3

Segunda Iteração:
  1. Calcular xr = 0,55675 - (-0,0017) times 0,49 - 0,556750,3163 - (-0,0017) approx 0,556393 nos novos extremos:
    • f(0,556393) approx sin(2,78197) - e^0,5563935 approx 0,3490 - 0,3487 approx 0,0003 ( )
    • ( )
  2. Aplicar a fórmula da falsa posição para encontrar :
  3. Verificar o sinal de :
    Como , substituímos por . Novo intervalo: [0,556393; 0,55675]

Passo 4

Terceira Iteração:
  1. Calcular xr = 0,55675 - (-0,0017) times 0,556393 - 0,556750,0003 - (-0,0017) approx 0,556447 nos novos extremos:
    • f(0,556447) approx sin(2,782235) - e^0,5564475 approx 0,3489 - 0,3488 approx 0,0001 ( )
    • ( )
  2. Aplicar a fórmula da falsa posição para encontrar :
  3. Verificar o sinal de :
    Com essa última aproximação, temos uma boa estimativa da raiz após 3 iterações.

Resposta

A aproximação da raiz após 3 iterações é 0,55700 (opção b).

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