Resolva o sistema de equações matriciais: lX+Y=I3 3 X-Y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações matriciais. A gente tem duas matrizes, X + Y = I3 3X - Y = 0 e , que satisfazem:
Aqui, é a matriz identidade 3x3. Vamos precisar usar propriedades de matrizes e álgebra para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa. A primeira equação nos diz que a soma das matrizes e é igual à matriz identidade 3x3. A matriz identidade é aquela que tem 1’s na diagonal principal e 0’s fora dela.

Passo 3

A segunda equação 3X - Y = 0 Rightarrow Y = 3X pode ser rearranjada para facilitar. Vamos isolar :
Agora sabemos que é igual a três vezes a matriz .

Passo 4

Vamos usar essa relação para substituir X + Y = I3 Rightarrow X + 3X = I3 Rightarrow 4X = I3 na primeira equação. Sabemos que , então:
Aqui, somamos e resultando em .

Passo 5

Agora, para encontrar 4X = I3 Rightarrow X = 14I3 , vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso significa que cada elemento da matriz é um quarto do correspondente na matriz identidade.

Passo 6

Com Y = 3X = 3 ( 14I3 ) = 34I3 encontrado, podemos retornar à relação para encontrar :
Então, cada elemento da matriz é três quartos do correspondente na matriz identidade.

Resposta

A solução do sistema é:
X = 14I3 e Y = 34I3

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