Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
-1
0
1
-1
2
5
a)
|
-1 | 0 | 1 |
|
-1 | 2 | 5 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três pontos:
,
e
. O objetivo é encontrar o Polinômio Interpolador de Lagrange que passa por esses pontos. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Lagrange e entender como construir os polinômios básicos que vão nos ajudar a montar o polinômio final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio Interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação dos polinômios básicos de Lagrange que nos permitem construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral é:
Onde
,
e
são os polinômios básicos de Lagrange para cada ponto.
Passo 3
Vamos calcular cada um dos polinômios básicos. A fórmula para cada
é:
Para nosso caso, como temos três pontos,
vai de 0 a 2.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos os polinômios básicos, vamos montar o polinômio interpolador substituindo cada
pelos valores correspondentes:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 5
Para facilitar a soma, vamos colocar todos os termos com o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:
Dividindo cada termo:
Agora, observe que os termos
e
se cancelam:
Resposta
O Polinômio Interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
Exercícios relacionados
Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
|
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|
4 | 3 | 8 | 25 | 119 |
Determinar o valor aproximado de
pela aplicaçāo da interpolaçāo quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função
. Trabalhar com 2 casas decimais.
|
0,5 | 0,3 | 0,1 |
|
0,25 | 0,49 | 0,81 |
Funcēs quadrática.