Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
l|lll $xi$ & -1 & 0 & 1 hline$yi$ & -1 & 2 & 5 -1 0 1
-1 2 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três pontos: , e . O objetivo é encontrar o Polinômio Interpolador de Lagrange que passa por esses pontos. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Lagrange e entender como construir os polinômios básicos que vão nos ajudar a montar o polinômio final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio Interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação dos polinômios básicos de Lagrange que nos permitem construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral é:
P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x)
Onde , e são os polinômios básicos de Lagrange para cada ponto.

Passo 3

Vamos calcular cada um dos polinômios básicos. A fórmula para cada Lk(x) = prodsubstackj=0 j neq k^n x - xjxk - xj é:
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 0)(x - 1)(-1 - 0)(-1 - 1) = x(x - 1)(-1)(-2) = x(x - 1)2
Para nosso caso, como temos três pontos, L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x + 1)(x - 1)(0 + 1)(0 - 1) = (x^2 - 1)(1)(-1) = - (x^2 - 1) = 1 - x^2 vai de 0 a 2.
Calculando L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x + 1)(x - 0)(1 + 1)(1 - 0) = x(x + 1)2 :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos os polinômios básicos, vamos montar o polinômio interpolador substituindo cada P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) pelos valores correspondentes:
P(x) = (-1) cdot x(x - 1)2 + 2 cdot (1 - x^2) + 5 cdot x(x + 1)2
Substituindo os valores:
P(x) = -x^2 - x2 + 2 - 2x^2 + 5x^2 + 5x2
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Para facilitar a soma, vamos colocar todos os termos com o mesmo denominador:
P(x) = -x^2 + x + 5x^2 + 5x2 + 2 - 2x^2
Simplificando o numerador:
P(x) = 4x^2 + 6x2 + 2 - 2x^2
Dividindo cada termo:
P(x) = 2x^2 + 3x + 2 - 2x^2
Agora, observe que os termos P(x) = 3x + 2 e se cancelam:

Resposta

O Polinômio Interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
P(x) = 3x + 2

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