Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
-1 0 1
-1 2 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três pontos: , e . O objetivo é encontrar o Polinômio Interpolador de Lagrange que passa por esses pontos. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de Lagrange e entender como construir os polinômios básicos que vão nos ajudar a montar o polinômio final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Polinômio Interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação dos polinômios básicos de Lagrange que nos permitem construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral é:
Onde , e são os polinômios básicos de Lagrange para cada ponto.

Passo 3

Vamos calcular cada um dos polinômios básicos. A fórmula para cada é:
Para nosso caso, como temos três pontos, vai de 0 a 2.
Calculando :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos os polinômios básicos, vamos montar o polinômio interpolador substituindo cada pelos valores correspondentes:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Para facilitar a soma, vamos colocar todos os termos com o mesmo denominador:
Simplificando o numerador:
Dividindo cada termo:
Agora, observe que os termos e se cancelam:

Resposta

O Polinômio Interpolador de Lagrange que passa pelos pontos dados é:

Exercícios relacionados

Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
0 1 2 3 5
4 3 8 25 119
Determinar o valor aproximado de pela aplicaçāo da interpolaçāo quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função . Trabalhar com 2 casas decimais.
0,5 0,3 0,1
0,25 0,49 0,81
Funcēs quadrática.