Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo de . Isso envolve a matemática de Ajuste de Curvas, especificamente o método dos Mínimos Quadrados para encontrar a melhor reta que “se encaixa” nos dados da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é uma reta. A equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo .

Passo 3

Para achar os melhores valores de e , usamos o método dos Mínimos Quadrados. Esse método busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças (erros) entre os valores da função original e os valores da reta de aproximação . Matematicamente, queremos minimizar:

Passo 4

Para minimizar , derivamos em relação a e e igualamos a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações que obtivemos:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 7

Da segunda equação já sabemos que . Vamos usar isso na primeira equação para encontrar :

Resposta

A reta que melhor aproxima a função no intervalo é:

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Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime no intervalo .
Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
-1 0 1
-1 2 5
Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
0 1 2 3 5
4 3 8 25 119