Determine a reta que melhor aproxime a função f(x)=x^3 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo de . Isso envolve a matemática de Ajuste de Curvas, especificamente o método dos Mínimos Quadrados para encontrar a melhor reta que “se encaixa” nos dados da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é uma reta. A equação geral de uma reta é , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser a melhor aproximação para no intervalo .

Passo 3

Para achar os melhores valores de S(a, b) = integral-1^1 (x^3 - (a x + b))^2 dx e , usamos o método dos Mínimos Quadrados. Esse método busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças (erros) entre os valores da função original e os valores da reta de aproximação . Matematicamente, queremos minimizar:

Passo 4

Para minimizar partial Spartial a = -2 integral-1^1 x (x^3 - a x - b) dx = 0 , derivamos em relação a partial Spartial b = -2 integral-1^1 (x^3 - a x - b) dx = 0 e integral-1^1 x^4 dx - a integral-1^1 x^2 dx - b integral-1^1 x dx = 0 e igualamos a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos fazer isso:
integral-1^1 x^3 dx - a integral-1^1 x dx - b integral-1^1 1 dx = 0
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
  1. [ x^55 ]-1^1 = 15 - ( -15 ) = 25 :
[ x^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23
  1. [ x^22 ]-1^1 = 12 - 12 = 0 :
[ x^44 ]-1^1 = 14 - 14 = 0
  1. [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2 :
  1. :
  1. :

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações que obtivemos:
Primeira equação:
25 - a cdot 23 - b cdot 0 = 0 implies 25 - 23 a = 0
Segunda equação:
0 - a cdot 0 - b cdot 2 = 0 implies -2b = 0 implies b = 0

Passo 7

Da segunda equação já sabemos que 25 - 23 a = 0 implies 23 a = 25 implies a = 25 cdot 32 = 35 . Vamos usar isso na primeira equação para encontrar :

Resposta

A reta que melhor aproxima a função y = 35x no intervalo é:

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