Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a reta que melhor aproxima a função
no intervalo de
. Isso envolve a matemática de Ajuste de Curvas, especificamente o método dos Mínimos Quadrados para encontrar a melhor reta que “se encaixa” nos dados da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é uma reta. A equação geral de uma reta é
, onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa reta ser a melhor aproximação para
no intervalo
.
Passo 3
Para achar os melhores valores de
e
, usamos o método dos Mínimos Quadrados. Esse método busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças (erros) entre os valores da função original
e os valores da reta de aproximação
. Matematicamente, queremos minimizar:
Passo 4
Para minimizar
, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero, obtendo um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Substituindo esses valores nas equações que obtivemos:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 7
Da segunda equação já sabemos que
. Vamos usar isso na primeira equação para encontrar
:
Resposta
A reta que melhor aproxima a função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime
no intervalo
.
Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
a)
|
-1 | 0 | 1 |
|
-1 | 2 | 5 |
Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
|
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|
4 | 3 | 8 | 25 | 119 |