Determinar o valor aproximado de f(0,2) pela aplicaçāo da interpolaçāo quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função f(x)=x^2-2 x+1. Trabalhar com 2 casas decimais.
c|ccc $xi$ & 0,5 & 0,3 & 0,1 hline$yi$ & 0,25 & 0,49 & 0,81 0,5 0,3 0,1
0,25 0,49 0,81
Funcēs quadrática.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor aproximado de usando a interpolaçāo quadrática. Isso faz parte da matéria de Interpolação Numérica, que é uma técnica para estimar valores de uma função com base em pontos conhecidos. Para isso, vamos precisar de três pontos da tabela que estão mais próximos de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os três pontos da tabela que estão mais próximos de c|ccc $xi$ & 0,5 & 0,3 & 0,1 hline $yi$ & 0,25 & 0,49 & 0,81 . Olhando a tabela:
[
0,5 0,3 0,1
0,25 0,49 0,81
]
Os pontos mais próximos de são , e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Interpolação de Lagrange para quadrática. A fórmula geral para três pontos é:
P(x) = y1 cdot (x - x2)(x - x3)(x1 - x2)(x1 - x3) + y2 cdot (x - x1)(x - x3)(x2 - x1)(x2 - x3) + y3 cdot (x - x1)(x - x2)(x3 - x1)(x3 - x2)
Onde:

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(0,2) = 0,49 cdot (0,2 - 0,1)(0,2 - 0,5)(0,3 - 0,1)(0,3 - 0,5) + 0,81 cdot (0,2 - 0,3)(0,2 - 0,5)(0,1 - 0,3)(0,1 - 0,5) + 0,25 cdot (0,2 - 0,3)(0,2 - 0,1)(0,5 - 0,3)(0,5 - 0,1)

Passo 5

Vamos calcular cada fração separadamente:
  1. Primeiro Termo:
(0,2 - 0,1)(0,2 - 0,5)(0,3 - 0,1)(0,3 - 0,5) = (0,1)(-0,3)(0,2)(-0,2) = -0,03-0,04 = 0,75
Então:
0,49 times 0,75 = 0,3675
  1. Segundo Termo:
(0,2 - 0,3)(0,2 - 0,5)(0,1 - 0,3)(0,1 - 0,5) = (-0,1)(-0,3)(-0,2)(-0,4) = 0,030,08 = 0,375
Então:
0,81 times 0,375 = 0,30375
  1. Terceiro Termo:
(0,2 - 0,3)(0,2 - 0,1)(0,5 - 0,3)(0,5 - 0,1) = (-0,1)(0,1)(0,2)(0,4) = -0,010,08 = -0,125
Então:
0,25 times (-0,125) = -0,03125

Passo 6

Agora, vamos somar os três termos:
0,3675 + 0,30375 - 0,03125 = 0,64

Resposta

O valor aproximado de pela interpolação quadrática é 0,64.

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