Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
0 1 2 3 5
4 3 8 25 119

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio interpolador de Newton para a tabela fornecida e depois calcular . Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que é uma técnica para construir polinômios que passam exatamente pelos pontos dados. Vamos precisar calcular essas diferenças divididas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Esses são os pontos pelos quais nosso polinômio deve passar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são simplesmente as diferenças entre os valores de divididas pela diferença entre os valores de .
Primeira ordem:

Passo 4

Agora, vamos para as diferenças de segunda ordem. Essas são calculadas usando as diferenças de primeira ordem que acabamos de encontrar.
Segunda ordem:

Passo 5

Vamos agora calcular as diferenças de terceira ordem.
Terceira ordem:

Passo 6

Por fim, calculamos as diferenças de quarta ordem.
Quarta ordem:

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
Usando os valores que calculamos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expanda os termos:
Agora, substitua de volta no :
Combine termos semelhantes:

Resposta

O polinômio interpolador de Newton é . Avaliando em :
Portanto, .

Exercícios relacionados

Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
-1 0 1
-1 2 5
Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Determinar o valor aproximado de pela aplicaçāo da interpolaçāo quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função . Trabalhar com 2 casas decimais.
0,5 0,3 0,1
0,25 0,49 0,81
Funcēs quadrática.
Determine o polinômio interpolador de Newton:
-1 2 5 6
5 11 53 75