Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
c|ccccc $xi$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 hline$yi$ & 4 & 3 & 8 & 25 & 119 0 1 2 3 5
4 3 8 25 119

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio interpolador de Newton para a tabela fornecida e depois calcular . Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que é uma técnica para construir polinômios que passam exatamente pelos pontos dados. Vamos precisar calcular essas diferenças divididas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
c|ccccc xi & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 hline yi & 4 & 3 & 8 & 25 & 119
Esses são os pontos pelos quais nosso polinômio deve passar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são simplesmente as diferenças entre os valores de f[x0, x1] = y1 - y0x1 - x0 = 3 - 41 - 0 = -1 divididas pela diferença entre os valores de f[x1, x2] = 8 - 32 - 1 = 5 .
Primeira ordem:
f[x2, x3] = 25 - 83 - 2 = 17
f[x3, x5] = 119 - 255 - 3 = 942 = 47

Passo 4

Agora, vamos para as diferenças de segunda ordem. Essas são calculadas usando as diferenças de primeira ordem que acabamos de encontrar.
Segunda ordem:
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = 5 - (-1)2 - 0 = 62 = 3
f[x1, x2, x3] = f[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1 = 17 - 53 - 1 = 122 = 6
f[x2, x3, x5] = f[x3, x5] - f[x2, x3]x5 - x2 = 47 - 175 - 2 = 303 = 10

Passo 5

Vamos agora calcular as diferenças de terceira ordem.
Terceira ordem:
f[x0, x1, x2, x3] = f[x1, x2, x3] - f[x0, x1, x2]x3 - x0 = 6 - 33 - 0 = 33 = 1
f[x1, x2, x3, x5] = f[x2, x3, x5] - f[x1, x2, x3]x5 - x1 = 10 - 65 - 1 = 44 = 1

Passo 6

Por fim, calculamos as diferenças de quarta ordem.
Quarta ordem:
f[x0, x1, x2, x3, x5] = f[x1, x2, x3, x5] - f[x0, x1, x2, x3]x5 - x0 = 1 - 15 - 0 = 05 = 0

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + dots
Usando os valores que calculamos:
P(x) = 4 + (-1)(x - 0) + 3(x - 0)(x - 1) + 1(x - 0)(x - 1)(x - 2)
Simplificando:
P(x) = 4 - x + 3x(x - 1) + x(x - 1)(x - 2)

Passo 8

Agora, vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expanda os termos:
3x(x - 1) = 3x^2 - 3x
x(x - 1)(x - 2) = x(x^2 - 3x + 2) = x^3 - 3x^2 + 2x
Agora, substitua de volta no P(x) = 4 - x + 3x^2 - 3x + x^3 - 3x^2 + 2x :
P(x) = 4 + (-x - 3x + 2x) + (3x^2 - 3x^2) + x^3
Combine termos semelhantes:
P(x) = 4 - 2x + x^3

Resposta

O polinômio interpolador de Newton é P(4) = 4^3 - 2 times 4 + 4 = 64 - 8 + 4 = 60 . Avaliando em :
Portanto, .

Exercícios relacionados