Determine o polinômio interpolador de Newton para a tabela abaixo, depois determine P(4).
0
1
2
3
5
4
3
8
25
119
|
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|
4 | 3 | 8 | 25 | 119 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o polinômio interpolador de Newton para a tabela fornecida e depois calcular
. Para isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que é uma técnica para construir polinômios que passam exatamente pelos pontos dados. Vamos precisar calcular essas diferenças divididas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Esses são os pontos pelos quais nosso polinômio
deve passar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são simplesmente as diferenças entre os valores de
divididas pela diferença entre os valores de
.
Primeira ordem:
Passo 4
Agora, vamos para as diferenças de segunda ordem. Essas são calculadas usando as diferenças de primeira ordem que acabamos de encontrar.
Segunda ordem:
Passo 5
Vamos agora calcular as diferenças de terceira ordem.
Terceira ordem:
Passo 6
Por fim, calculamos as diferenças de quarta ordem.
Quarta ordem:
Passo 7
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador de Newton. A fórmula geral é:
Usando os valores que calculamos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos simplificar o polinômio:
Primeiro, expanda os termos:
Agora, substitua de volta no
:
Combine termos semelhantes:
Resposta
O polinômio interpolador de Newton é
. Avaliando em
:
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
a)
|
-1 | 0 | 1 |
|
-1 | 2 | 5 |
Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Determinar o valor aproximado de
pela aplicaçāo da interpolaçāo quadrática, no cálculo deste valor, usando os valores da função
. Trabalhar com 2 casas decimais.
|
0,5 | 0,3 | 0,1 |
|
0,25 | 0,49 | 0,81 |
Funcēs quadrática.
Determine o polinômio interpolador de Newton:
|
-1 | 2 | 5 | 6 |
|
5 | 11 | 53 | 75 |