Determine a reta que melhor aproxime a função f(x)=x^2 no intervalo [-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo de a . Isso faz parte da matemática que estuda aproximações de funções usando retas, conhecido como aproximação linear ou regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma reta pode ser escrita na forma , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da curva no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão próxima a reta está da função quadrática, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e da reta para todos os no intervalo.

Passo 4

Matematicamente, queremos minimizar a integral . Para fazer isso, vamos expandir o quadrado e integrar termo a termo.

Passo 5

Expandindo o quadrado:
(x^2 - ax - b)^2 = x^4 - 2ax^3 - 2bx^2 + a^2x^2 + 2abx + b^2
Agora, vamos integrar cada termo no intervalo de a .

Passo 6

Calculando as integrais:
integral-1^1 x^4 dx = 25, integral-1^1 x^3 dx = 0, integral-1^1 x^2 dx = 23, integral-1^1 x dx = 0, integral-1^1 1 dx = 2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integral:
25 - 2a cdot 0 - 2b cdot 23 + a^2 cdot 23 + 2ab cdot 0 + b^2 cdot 2
Simplificando:
25 - 4b3 + 2a^23 + 2b^2

Passo 8

Para minimizar essa expressão, derivamos em relação a dda ( 25 - 4b3 + 2a^23 + 2b^2 ) = 4a3 = 0 implies a = 0 e ddb ( 25 - 4b3 + 2a^23 + 2b^2 ) = -43 + 4b = 0 implies 4b = 43 implies b = 13 e igualamos a zero:

Resposta

A reta que melhor aproxima a função no intervalo é .

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