Determine a reta que melhor aproxime a função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta que melhor aproxima a função
no intervalo de
a
. Isso faz parte da matemática que estuda aproximações de funções usando retas, conhecido como aproximação linear ou regressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma reta pode ser escrita na forma
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da curva
no intervalo dado.
Passo 3
Para medir o quão próxima a reta está da função quadrática, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de
e da reta
para todos os
no intervalo.
Passo 4
Matematicamente, queremos minimizar a integral
. Para fazer isso, vamos expandir o quadrado e integrar termo a termo.
Passo 5
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos integrar cada termo no intervalo de
a
.
Passo 6
Calculando as integrais:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão integral:
Simplificando:
Passo 8
Para minimizar essa expressão, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero:
Resposta
A reta que melhor aproxima a função
no intervalo
é
.