Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta que melhor aproxima a função no intervalo de a . Isso faz parte da matemática que estuda aproximações de funções usando retas, conhecido como aproximação linear ou regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma reta pode ser escrita na forma , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ficar o mais próxima possível da curva no intervalo dado.

Passo 3

Para medir o quão próxima a reta está da função quadrática, usamos o método dos mínimos quadrados. Isso significa que queremos minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores de e da reta para todos os no intervalo.

Passo 4

Matematicamente, queremos minimizar a integral . Para fazer isso, vamos expandir o quadrado e integrar termo a termo.

Passo 5

Expandindo o quadrado:
Agora, vamos integrar cada termo no intervalo de a .

Passo 6

Calculando as integrais:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integral:
Simplificando:

Passo 8

Para minimizar essa expressão, derivamos em relação a e e igualamos a zero:

Resposta

A reta que melhor aproxima a função no intervalo é .

Exercícios relacionados

Determine o polinômio de grau 2 que melhor aproxime no intervalo .
Considere a tabela:
-9 -6 -4 -2 -1 2 4
30 10 9 6 5 4 4
Por qual das funções ou você aproximaria a função ? Justifique sua resposta.
Determine a reta que melhor aproxime a função no intervalo .
Dadas as tabelas abaixo, determine o polinômio Interpolador de Lagrange .
a)
-1 0 1
-1 2 5