Dado o seguinte PVI:
l y^prime=y ln (x) y(1)=1
2.- Euler simples,

Passo 1

Então, a gente tem um problema de valor inicial (PVI) que diz que a derivada de l y^prime=y ln (x) y(1)=1 em relação a é igual a vezes o logaritmo de , ou seja:
Vamos resolver esse PVI usando o método de Euler simples, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o método de Euler. Básicamente, ele nos ajuda a encontrar valores aproximados da função em pontos discretos, começando de um ponto inicial conhecido. No nosso caso, sabemos que quando , .

Passo 3

Escolhemos um tamanho de passo, que chamamos de . Esse valor determina o quanto vamos avançar em cada passo. Por exemplo, se escolhermos , iremos calcular para , depois para , e assim por diante.

Passo 4

A fórmula do método de Euler é:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
onde é a derivada de em relação a . No nosso caso, .

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula. Começamos com y1 = y0 + h cdot y0 ln(x0) = 1 + 0.5 cdot 1 cdot ln(1) = 1 + 0.5 cdot 0 Rightarrow y1 = 1 e .
Para :

Passo 6

Agora, para y2 = y1 + h cdot y1 ln(x1) = 1 + 0.5 cdot 1 cdot ln(1.5) approx 1 + 0.5 cdot 0.4055 approx 1.20275 :

Passo 7

Continuando, para y3 = y2 + h cdot y2 ln(x2) approx 1.20275 + 0.5 cdot 1.20275 cdot ln(2) approx 1.20275 + 0.5 cdot 1.20275 cdot 0.6931 approx 1.20275 + 0.4167 approx 1.61945 :

Resposta

Após aplicar o método de Euler simples com um passo de , temos a aproximação de para como .

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