Dado o seguinte PVI:
3.- Resolva o PVI utilizando o método de Euler Modificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar aqui é o Método de Euler Modificado, que é uma forma melhorada do método de Euler para aproximar soluções de equações diferenciais. Vamos precisar transformar essa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem para aplicar o método.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem. Vamos definir . Assim, temos:
e
Agora, nosso sistema é:
Isso facilita aplicar o Método de Euler Modificado.

Passo 3

Vamos escolher um tamanho de passo, que é o valor de que indica o quão grande será o incremento no nosso cálculo. Vamos usar para facilitar os cálculos. Nosso ponto inicial é , com e .

Passo 4

No Método de Euler Modificado, primeiro calculamos as previsões usando o Método de Euler simples e depois ajustamos essas previsões usando a média das inclinações no início e no meio do intervalo. Vamos calcular isso para uma iteração.
Primeiro, calculamos as estimativas iniciais:

Passo 5

Agora, calculamos as inclinações médias:
é
é

Passo 6

Finalmente, atualizamos os valores de e usando as inclinações médias:
é
é

Resposta

Após aplicar o Método de Euler Modificado com um passo de , temos:

Exercícios relacionados

Dado o seguinte PVI:
2.- Euler simples,
Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule para o com 2 passos.
Use o método de Euler simples para obter uma aproximação numérica da solução do sistema de EDOs a seguir. Considere , usando .
Dado o seguinte tabelamento de um determinando experimento:
1 2 3 5
1 8 27 125
d) Determine a soma dos coeficientes do polinômio interpolador.