Encontre a curva que melhor se ajusta ao tabelamento abaixo.
a) Utilize o conceito de MMQ geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a curva que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados em uma tabela, usando o conceito de Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Geométrico. Isso significa que vamos procurar os coeficientes e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados e os valores previstos pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o MMQ Geométrico. Esse método busca ajustar uma curva aos dados de forma que a soma das distâncias verticais ao quadrado entre os pontos da tabela e a curva seja a menor possível. Matemáticamente, queremos minimizar a soma definida por:
Onde:
  • são os valores observados.
  • são os valores previstos pela curva.

Passo 3

Vamos substituir na expressão da soma :
Para encontrar os valores de e que minimizam , precisamos derivar em relação a cada um desses coeficientes e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações chamado de equações normais.
As derivadas parciais são:
Simplificando, obtemos o sistema linear:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar e . Para isso, precisamos calcular as somas envolvidas com base nos dados da tabela fornecida. Suponha que tenhamos os seguintes valores:
Calculamos:
  • (número de pontos)
Com esses valores, substitu��mos nas equações normais e resolvemos para e . Isso pode ser feito por métodos de eliminação, substituição ou usando matrizes.

Resposta

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças. Assim, a curva que melhor se ajusta aos dados fornecidos é:
Onde e são os coeficientes determinados pelo método dos mínimos quadrados geométrico.

Exercícios relacionados

Considere o seguinte tabelamento:
a) Calcule o polinômio interpolador de Newton.
Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule para o com 2 passos.
Dado o seguinte PVI:
2.- Euler simples,