Encontre a curva
que melhor se ajusta ao tabelamento abaixo.
a) Utilize o conceito de MMQ geométrico.
a) Utilize o conceito de MMQ geométrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a curva
que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados em uma tabela, usando o conceito de Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Geométrico. Isso significa que vamos procurar os coeficientes
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados e os valores previstos pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o MMQ Geométrico. Esse método busca ajustar uma curva aos dados de forma que a soma das distâncias verticais ao quadrado entre os pontos da tabela e a curva seja a menor possível. Matemáticamente, queremos minimizar a soma
definida por:
Onde:
-
são os valores observados. -
são os valores previstos pela curva.
Passo 3
Vamos substituir
na expressão da soma
:
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, precisamos derivar
em relação a cada um desses coeficientes e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações chamado de equações normais.
As derivadas parciais são:
Simplificando, obtemos o sistema linear:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
. Para isso, precisamos calcular as somas envolvidas com base nos dados da tabela fornecida. Suponha que tenhamos os seguintes valores:
Calculamos:
-
-
-
-
-
(número de pontos)
Com esses valores, substitu��mos nas equações normais e resolvemos para
e
. Isso pode ser feito por métodos de eliminação, substituição ou usando matrizes.
Resposta
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças. Assim, a curva que melhor se ajusta aos dados fornecidos é:
Onde
e
são os coeficientes determinados pelo método dos mínimos quadrados geométrico.
Exercícios relacionados
Considere o seguinte tabelamento:
a) Calcule o polinômio interpolador de Newton.
Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule
para o com 2 passos.
Dado o seguinte PVI:
2.- Euler simples,