Encontre a curva P(x)=a1 x^2+a2 que melhor se ajusta ao tabelamento abaixo.
a) Utilize o conceito de MMQ geométrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a curva que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados em uma tabela, usando o conceito de Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Geométrico. Isso significa que vamos procurar os coeficientes e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças verticais entre os valores observados e os valores previstos pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o MMQ Geométrico. Esse método busca ajustar uma curva aos dados de forma que a soma das distâncias verticais ao quadrado entre os pontos da tabela e a curva seja a menor possível. Matemáticamente, queremos minimizar a soma S = sumi=1^n ( yi - P(xi) )^2 definida por:
Onde:
  • são os valores observados.
  • são os valores previstos pela curva.

Passo 3

Vamos substituir S = sumi=1^n ( yi - a1 xi^2 - a2 )^2 na expressão da soma partial Spartial a1 = -2 sumi=1^n xi^2 ( yi - a1 xi^2 - a2 ) = 0 :
partial Spartial a2 = -2 sumi=1^n ( yi - a1 xi^2 - a2 ) = 0
Para encontrar os valores de sumi=1^n xi^4 cdot a1 + sumi=1^n xi^2 cdot a2 = sumi=1^n xi^2 yi sumi=1^n xi^2 cdot a1 + n cdot a2 = sumi=1^n yi e que minimizam , precisamos derivar em relação a cada um desses coeficientes e igualar a zero. Isso nos dará um sistema de equações chamado de equações normais.
As derivadas parciais são:
Simplificando, obtemos o sistema linear:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar |c|c| hline xi & yi hline x1 & y1 x2 & y2 vdots & vdots xn & yn hline e . Para isso, precisamos calcular as somas envolvidas com base nos dados da tabela fornecida. Suponha que tenhamos os seguintes valores:
Calculamos:
  • (número de pontos)
Com esses valores, substitu��mos nas equações normais e resolvemos para e . Isso pode ser feito por métodos de eliminação, substituição ou usando matrizes.

Resposta

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de P(x) = a1 x^2 + a2 e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças. Assim, a curva que melhor se ajusta aos dados fornecidos é:
Onde e são os coeficientes determinados pelo método dos mínimos quadrados geométrico.

Exercícios relacionados