Dado o seguinte PVI:
l y^prime+y=3 y(0)=4
1.- Calcule y(1) para o com 2 passos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Equações Diferenciais, especificamente um Problema de Valor Inicial (PVI). A gente tem a equação com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que nossa equação é linear na forma e^xy' + e^xy = 3e^x , onde ddx(e^xy) = 3e^x e e^xy = 3e^x + C . A gente calcula o fator integrante y = 3 + Ce^-x . Multiplicando toda a equação por 4 = 3 + C cdot e^0 Rightarrow C = 1 , ficamos com:
y = 3 + e^-x
Isso simplifica para:
y(1) = 3 + e^-1
Integrando os dois lados:
Então, isolando :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Portanto, a solução da equação é:
Para encontrar , substituímos :

Resposta

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