Dado o seguinte PVI:
l y^prime=y ln (x) y(1)=1
1.- Calcule y(6) para o PVI:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela seguinte equação diferencial:
l y^prime=y ln (x) y(1)=1
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações que podem ser separadas em termos de e . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que possamos separar as variáveis dydx = y ln(x) e dyy = ln(x) , dx :
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y , dy = integral ln(x) , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
integral 1y , dy = ln|y| + C1
Agora, a integral do lado direito:
integral ln(x) , dx
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja integral ln(x) , dx = x ln(x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(x) - integral 1 , dx = x ln(x) - x + C2 e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Unindo os resultados das integrais:
ln|y| = x ln(x) - x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para y = e^x ln(x) - x + C = e^x ln(x) cdot e^-x cdot e^C , vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
y = K cdot x^x cdot e^-x
Sabemos que é apenas uma constante, que podemos chamar de . Além disso, . Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial 1 = K cdot 1^1 cdot e^-1 Rightarrow 1 = K cdot e^-1 Rightarrow K = e para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituindo y = e cdot x^x cdot e^-x = x^x cdot e^1 - x na expressão para :

Resposta

Portanto, o valor de y(6) = 6^6 cdot e^1 - 6 = 6^6 cdot e^-5 é:
6^6 = 46656 e e^-5 approx 0,006737947
Calculando numericamente:
y(6) approx 46656 times 0,006737947 approx 314,980
Então:
y(6) approx 315
Arredondando, temos:

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