Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule para o PVI:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações que podem ser separadas em termos de e . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que possamos separar as variáveis e :
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Começando pela integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Unindo os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para , vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Sabemos que é apenas uma constante, que podemos chamar de . Além disso, . Então, a equação fica:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 8

Substituindo na expressão para :

Resposta

Portanto, o valor de é:
Calculando numericamente:
Então:
Arredondando, temos:

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Dado o seguinte PVI:
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2.- Resolva o PVI utilizando o método de Runge-Kutta de ordem 4.
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4.- Determine para .