Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações que podem ser separadas em termos de e . Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que possamos separar as variáveis e :
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja e , então e . Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 5
Unindo os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver para , vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Sabemos que é apenas uma constante, que podemos chamar de . Além disso, . Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :