Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule
para o PVI:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações que podem ser separadas em termos de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados para encontrar a solução que satisfaz a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que possamos separar as variáveis
e
:
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Começando pela integral do lado esquerdo:
Agora, a integral do lado direito:
Para resolver essa integral, usamos o método de integração por partes. Seja
e
, então
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 5
Unindo os resultados das integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver para
, vamos exponentiar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Sabemos que
é apenas uma constante, que podemos chamar de
. Além disso,
. Então, a equação fica:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 8
Substituindo
na expressão para
:
Resposta
Portanto, o valor de
é:
Calculando numericamente:
Então:
Arredondando, temos: