Dado o seguinte PVI:
l y^prime+y=3 y(0)=4
3.- Aplique Runge-Kutta ordem 4.

Passo 1

Bele, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem com uma condição inicial. A equação é e sabemos que . Nosso objetivo aqui é usar o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) para encontrar o valor de em um ponto próximo, digamos . Para isso, vamos precisar entender como o RK4 funciona e seguir os passos direitinho para aplicar ele na nossa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o passo que vamos usar para avançar na solução. Como queremos encontrar a partir de , vamos escolher . Isso significa que vamos dar um passo de 1 unidade no eixo .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão y' = 3 - y . A nossa equação é , então podemos isolar :
Então, .

Passo 4

Vamos aplicar o método RK4. Esse método usa quatro estimativas para calcular o próximo valor de k1 &= h cdot f(xn, yn) k2 &= h cdot f(xn + h2, yn + k12) k3 &= h cdot f(xn + h2, yn + k22) k4 &= h cdot f(xn + h, yn + k3) yn+1 &= yn + 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) . As fórmulas são:
k1 = h cdot f(x0, y0) = 1 cdot (3 - 4) = -1
Vamos calcular cada um desses k2 = h cdot f(x0 + 12, y0 + k12) = 1 cdot (3 - (4 + -12)) = 1 cdot (3 - 3.5) = -0.5 :
  1. Calculando k3 = h cdot f(x0 + 12, y0 + k22) = 1 cdot (3 - (4 + -0.52)) = 1 cdot (3 - 3.75) = -0.75 :
k4 = h cdot f(x0 + 1, y0 + k3) = 1 cdot (3 - (4 + (-0.75))) = 1 cdot (3 - 3.25) = -0.25
  1. Calculando :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo para encontrar y1 = y0 + 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) = 4 + 16(-1 + 2(-0.5) + 2(-0.75) + (-0.25)) :
-1 + (-1) + (-1.5) + (-0.25) = -3.75
Vamos calcular dentro dos parênteses:
y1 = 4 + 16(-3.75) = 4 - 0.625 = 3.375
Então:

Resposta

Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com passo , o valor aproximado de é 3.375.

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