Dado o seguinte PVI:
l y^prime prime=3 y^prime-2 y y(0)=-1 y^prime(0)=0
4.- Determine y(1) para n=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
l y^prime prime=3 y^prime-2 y y(0)=-1 y^prime(0)=0
A missão aqui é encontrar o valor de usando passos. Para resolver isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Vamos precisar converter essa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem para facilitar a aplicação do método.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para isso, vamos introduzir uma nova variável:
z = y'
Com isso, temos o sistema:
y' = z z' = 3z - 2y
Agora, temos duas equações de primeira ordem, o que facilita a aplicação do Método de Euler.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método de Euler para aproximar yk+1 = yk + h cdot zk zk+1 = zk + h cdot (3zk - 2yk) . O Método de Euler usa a seguinte fórmula para avançar em pequenos passos:
Onde:
  • é o tamanho do passo. Como queremos ir de a com passos, temos .
  • representa o passo atual.

Passo 4

Vamos iniciar com as condições iniciais:
y0 = y(0) = -1 z0 = y'(0) = 0
Agora, vamos calcular passo a passo:
Passo 1 ( y1 = y0 + h cdot z0 = -1 + 0.25 cdot 0 = -1 z1 = z0 + h cdot (3z0 - 2y0) = 0 + 0.25 cdot (0 - 2(-1)) = 0 + 0.25 cdot 2 = 0.5 para y2 = y1 + h cdot z1 = -1 + 0.25 cdot 0.5 = -1 + 0.125 = -0.875 z2 = z1 + h cdot (3z1 - 2y1) = 0.5 + 0.25 cdot (1.5 - 2(-0.875)) = 0.5 + 0.25 cdot 3.25 = 0.5 + 0.8125 = 1.3125 ):
y3 = y2 + h cdot z2 = -0.875 + 0.25 cdot 1.3125 = -0.875 + 0.328125 = -0.546875 z3 = z2 + h cdot (3z2 - 2y2) = 1.3125 + 0.25 cdot (3(1.3125) - 2(-0.875)) = 1.3125 + 0.25 cdot (3.9375 + 1.75) = 1.3125 + 0.25 cdot 5.6875 = 1.3125 + 1.421875 = 2.734375
Passo 2 ( y4 = y3 + h cdot z3 = -0.546875 + 0.25 cdot 2.734375 = -0.546875 + 0.68359375 = 0.13671875 z4 = z3 + h cdot (3z3 - 2y3) = 2.734375 + 0.25 cdot (3(2.734375) - 2(-0.546875)) = 2.734375 + 0.25 cdot (8.203125 + 1.09375) = 2.734375 + 0.25 cdot 9.296875 = 2.734375 + 2.32421875 = 5.05859375 para ):
Passo 3 ( para ):
Passo 4 ( para ):

Resposta

Após 4 passos usando o Método de Euler, a aproximação para y(1) approx 0.1367 é aproximadamente:

Exercícios relacionados