Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. O enunciado é:
A missão aqui é encontrar o valor de usando passos. Para resolver isso, vamos usar o Método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Vamos precisar converter essa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem para facilitar a aplicação do método.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem. Para isso, vamos introduzir uma nova variável:
Com isso, temos o sistema:
Agora, temos duas equações de primeira ordem, o que facilita a aplicação do Método de Euler.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método de Euler para aproximar . O Método de Euler usa a seguinte fórmula para avançar em pequenos passos:
Onde:
é o tamanho do passo. Como queremos ir de a com passos, temos .
representa o passo atual.
Passo 4
Vamos iniciar com as condições iniciais:
Agora, vamos calcular passo a passo:
Passo 1 ( para ):
Passo 2 ( para ):
Passo 3 ( para ):
Passo 4 ( para ):
Resposta
Após 4 passos usando o Método de Euler, a aproximação para é aproximadamente: