2.- Resolva o PVI utilizando o método de Runge-Kutta de ordem 4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso com o método de Runge-Kutta de ordem 4, que é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais, vamos precisar transformar essa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem. Para isso, fazemos o seguinte:
Definimos uma nova variável tal que:
Agora, podemos reescrever o sistema original como:
Agora temos um sistema de duas equações de primeira ordem, que é mais fácil de lidar com métodos numéricos como o Runge-Kutta de quarta ordem.
Passo 3
Agora que temos o sistema de primeira ordem, vamos lembrar como funciona o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). Esse método estima os valores de e em pequenos intervalos de usando uma combinação ponderada de inclinações (derivadas) calculadas em pontos intermediários.
As fórmulas do RK4 para um sistema de equações são:
Para :
E similarmente para .
Depois, atualizamos e com:
Aqui, é o tamanho do passo que escolhemos para a aproximação.
Passo 4
Vamos aplicar o método RK4 ao nosso sistema. Primeiro, identificamos as funções e a partir do sistema:
Vamos escolher um tamanho de passo . Por exemplo, vamos usar e calcular os valores de e no próximo ponto .
Usando as condições iniciais:
Agora, calculamos os para e :
Agora, calculamos e :
Continuando com e :
Finalmente, calculamos e :
Agora, atualizamos e :
Resposta
Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com um passo , encontramos que em :