Dado o seguinte PVI:
l y^prime prime=3 y^prime-2 y y(0)=-1 y^prime(0)=0
2.- Resolva o PVI utilizando o método de Runge-Kutta de ordem 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI) usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem. O enunciado que temos é:
l y^prime prime=3 y^prime-2 y y(0)=-1 y^prime(0)=0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso com o método de Runge-Kutta de ordem 4, que é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais, vamos precisar transformar essa equação de segunda ordem em um sistema de equações de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação diferencial de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem. Para isso, fazemos o seguinte:
Definimos uma nova variável z = y' tal que:
l y' = z z' = 3z - 2y
Agora, podemos reescrever o sistema original como:
Agora temos um sistema de duas equações de primeira ordem, que é mais fácil de lidar com métodos numéricos como o Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 3

Agora que temos o sistema de primeira ordem, vamos lembrar como funciona o método de Runge-Kutta de quarta ordem (RK4). Esse método estima os valores de k1y = h cdot fy(xn, yn, zn) e k2y = h cdot fy(xn + h2, yn + k1y2, zn + k1z2) em pequenos intervalos de k3y = h cdot fy(xn + h2, yn + k2y2, zn + k2z2) usando uma combinação ponderada de inclinações (derivadas) calculadas em pontos intermediários.
As fórmulas do RK4 para um sistema de equações são:
Para k4y = h cdot fy(xn + h, yn + k3y, zn + k3z) :
yn+1 = yn + 16(k1y + 2k2y + 2k3y + k4y)
zn+1 = zn + 16(k1z + 2k2z + 2k3z + k4z)
E similarmente para .
Depois, atualizamos e com:
Aqui, é o tamanho do passo que escolhemos para a aproximação.

Passo 4

Vamos aplicar o método RK4 ao nosso sistema. Primeiro, identificamos as funções fy = z fz = 3z - 2y e y0 = -1 z0 = y'(0) = 0 a partir do sistema:
y1 = y0 + 16(k1y + 2k2y + 2k3y + k4y) = -1 + 16(0 + 2 cdot 0,01 + 2 cdot 0,0115 + 0,02355) = -1 + 16(0 + 0,02 + 0,023 + 0,02355) = -1 + 16(0,06655) approx -1 + 0,0111 = -0,9889
Vamos escolher um tamanho de passo z1 = z0 + 16(k1z + 2k2z + 2k3z + k4z) = 0 + 16(0,2 + 2 cdot 0,23 + 2 cdot 0,2355 + 0,27295) = 16(0,2 + 0,46 + 0,471 + 0,27295) = 16(1,40395) approx 0,2340 . Por exemplo, vamos usar e calcular os valores de e no próximo ponto .
Usando as condições iniciais:
Agora, calculamos os para e :
Agora, calculamos e :
Continuando com e :
Finalmente, calculamos e :
Agora, atualizamos e :

Resposta

Após aplicar o método de Runge-Kutta de quarta ordem com um passo y(0,1) approx -0,9889 y'(0,1) approx 0,2340 , encontramos que em :

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