Dado o seguinte PVI:
2.- Aplique o método de Euler e Euler modificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial primeiro grau:
O conteúdo aqui envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, especificamente o Método de Euler e o Método de Euler Modificado. Para resolver, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Método de Euler. Ele é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é usar uma abordagem de passo a passo, onde a cada passo calculamos a inclinação da função no ponto atual e usamos essa inclinação para estimar o próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
onde:
-
é o valor atual de , -
é o tamanho do passo, -
é a derivada de em relação a no ponto .
Passo 3
Vamos aplicar o Método de Euler ao nosso PVI. Primeiro, reorganizamos a equação para obter
:
Então, nossa função
.
Agora, escolhemos um tamanho de passo
. Vamos escolher
para simplificar.
Começando com
e
:
Passo 4
Agora, vamos ao Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Heun. Esse método melhora a aproximação do Método de Euler considerando a inclinação no início e no final do intervalo.
A fórmula do Método de Euler Modificado é:
Passo 5
Aplicando o Método de Euler Modificado ao nosso PVI com
:
Primeiro calculamos .
Primeiro calculamos
Estimamos
usando o Método de Euler:
Agora, calculamos
.
Aplicamos a fórmula do Método de Euler Modificado:
Resposta
Usando o Método de Euler, a aproximação para
é
. Já com o Método de Euler Modificado, a aproximação para
é
.
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Encontre a curva
que melhor se ajusta ao tabelamento abaixo.
b) Utilize o MMQ clássico
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A equação
possui uma raiz real no intervalo
. Determinea, usando 3 pontos deste intervalo e fazendo uso da interpolação inversa (polinômio de Newton). Utilize arredondamento padrão e 4 casas decimais.
Dado o seguinte PVI:
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Dado o seguinte PVI:
1.- Calcule
para o PVI: