Dado o seguinte PVI:
l y^prime+y=3 y(0)=4
2.- Aplique o método de Euler e Euler modificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) que é uma equação diferencial primeiro grau:
l y^prime+y=3 y(0)=4
O conteúdo aqui envolve métodos numéricos para resolver equações diferenciais, especificamente o Método de Euler e o Método de Euler Modificado. Para resolver, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicá-los passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Método de Euler. Ele é uma técnica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é usar uma abordagem de passo a passo, onde a cada passo calculamos a inclinação da função no ponto atual e usamos essa inclinação para estimar o próximo ponto.
A fórmula do Método de Euler é:
yn+1 = yn + h cdot f(tn, yn)
onde:
  • é o valor atual de ,
  • é o tamanho do passo,
  • é a derivada de em relação a no ponto .

Passo 3

Vamos aplicar o Método de Euler ao nosso PVI. Primeiro, reorganizamos a equação para obter y' = 3 - y :
y1 = y0 + h cdot f(t0, y0) = 4 + 1 cdot (3 - 4) = 4 + (-1) = 3
Então, nossa função .
Agora, escolhemos um tamanho de passo . Vamos escolher para simplificar.
Começando com e :

Passo 4

Agora, vamos ao Método de Euler Modificado, também conhecido como Método de Heun. Esse método melhora a aproximação do Método de Euler considerando a inclinação no início e no final do intervalo.
A fórmula do Método de Euler Modificado é:
yn+1 = yn + h2 [ f(tn, yn) + f(tn+1, yn + h cdot f(tn, yn)) ]

Passo 5

Aplicando o Método de Euler Modificado ao nosso PVI com y1 = 4 + 1 cdot (-1) = 3 :
Primeiro calculamos y1 = 4 + 12 [ (-1) + 0 ] = 4 + 12 cdot (-1) = 4 - 0.5 = 3.5 .
Estimamos usando o Método de Euler:
Agora, calculamos .
Aplicamos a fórmula do Método de Euler Modificado:

Resposta

Usando o Método de Euler, a aproximação para é . Já com o Método de Euler Modificado, a aproximação para é .

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