Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Abaixo do cone e acima do disco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está abaixo do cone dado por e acima do disco . Para isso, vamos usar Coordenadas Polares (CP), que são ótimas para lidar com figuras circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte do enunciado significa. O cone pode ser reescrito em coordenadas polares, onde e . Assim, o cone fica .
O disco também é mais fácil de trabalhar em coordenadas polares, pois representa todos os pontos onde o raio é menor ou igual a 2 ().
Passo 3
Agora, para calcular o volume entre o cone e o disco, vamos configurar uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é a região do disco , (do cone), e o fator vem da transformação para coordenadas polares.
Passo 4
Vamos montar os limites de integração. Como estamos em coordenadas polares e o raio varia de 0 a 2, e o ângulo gira de 0 a , a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: