Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Abaixo do cone z=raizx^2+y^2 e acima do disco x^2+y^2 <= 4 R: 16 pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está abaixo do cone dado por e acima do disco . Para isso, vamos usar Coordenadas Polares (CP), que são ótimas para lidar com figuras circulares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte do enunciado significa. O cone pode ser reescrito em coordenadas polares, onde e . Assim, o cone fica .
O disco também é mais fácil de trabalhar em coordenadas polares, pois representa todos os pontos onde o raio é menor ou igual a 2 ( ).

Passo 3

Agora, para calcular o volume entre o cone e o disco, vamos configurar uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume V = integral integralD z , r , dr , dtheta é:
Aqui, é a região do disco , (do cone), e o fator vem da transformação para coordenadas polares.

Passo 4

Vamos montar os limites de integração. Como estamos em coordenadas polares e o raio varia de 0 a 2, e o ângulo V = integral0^2pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta gira de 0 a , a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 - 0 = 83 :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot [ theta ]0^2pi = 83 cdot 2pi = 16pi3

Resposta

O volume do sólido é .

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