Utilize CP para determinar o volume do sólido descrito em cada item. Represente cada sólido:
Abaixo do cone
e acima do disco
Abaixo do cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o volume de um sólido que está abaixo do cone dado por
e acima do disco
. Para isso, vamos usar Coordenadas Polares (CP), que são ótimas para lidar com figuras circulares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte do enunciado significa. O cone
pode ser reescrito em coordenadas polares, onde
e
. Assim, o cone fica
.
O disco
também é mais fácil de trabalhar em coordenadas polares, pois representa todos os pontos onde o raio
é menor ou igual a 2 (
).
Passo 3
Agora, para calcular o volume entre o cone e o disco, vamos configurar uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
é a região do disco
,
(do cone), e o fator
vem da transformação para coordenadas polares.
Passo 4
Vamos montar os limites de integração. Como estamos em coordenadas polares e o raio varia de 0 a 2, e o ângulo
gira de 0 a
, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O volume do sólido é
.